[论文解读] A partial analog of integrability theorem for distributions on p-adic spaces and applications

Avraham Aizenbud|ArXiv.org|Nov 17, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文通过将波前集的Zariski闭包定义为奇点支集，在p进域上建立了非阿基米德情形下分布可积性定理的类比，证明该奇点支集为弱共变（weakly coisotropic），该性质足以支持关键应用。该理论被用于在所有局部域上统一证明 $GL_n$ 的重数一性定理，并在非阿基米德情形下建立对称对的Gelfand性质。

ABSTRACT

Let X be a smooth real algebraic variety. Let $ξ$ be a distribution on it. One can define the singular support of $ξ$ to be the singular support of the $D_X$-module generated by $ξ$ (some times it is also called the characteristic variety). A powerful property of the singular support is that it is a coisotropic subvariety of $T^*X$. This is the integrability theorem (see [KKS, Mal, Gab]). This theorem turned out to be useful in representation theory of real reductive groups (see e.g. [AG_AMOT, AS, Say]). The aim of this paper is to give an analog of this theorem to the non-Archimedean case. The theory of D-modules is not available to us so we need a different definition of the singular support. We use the notion wave front set from [Hef] and define the singular support to be its Zariski closure. Then we prove that the singular support satisfies some property that we call weakly coisotropic, which is weaker than being coisotropic but is enough for some applications. We also prove some other properties of the singular support that were trivial in the Archimedean case (using the algebraic definition) but not obvious in the non-Archimedean case.

研究动机与目标

• 将已知在阿基米德情形下通过D-模理论成立的可积性定理，推广至非阿基米德情形，其中D-模理论不可用。
• 通过波前集及其Zariski闭包定义p进空间上分布的奇点支集，取代代数D-模方法。
• 证明该奇点支集满足一种较弱的共变性条件（即弱共变），该条件已足够用于表示论中的关键应用。
• 在所有局部域（阿基米德与非阿基米德）上统一证明 $GL_n$ 的重数一性定理。
• 利用新框架将对称空间上Gelfand对的结果推广至特征零的任意局部域。

提出的方法

• 将奇点支集定义为波前集的Zariski闭包，该波前集通过傅里叶变换在非阿基米德情形下定义并可用。
• 利用 [缺失] 中发展的波前集理论分析不变分布的奇点支集。
• 在余切丛中引入弱共变子簇的概念，作为共变子簇的弱化版本，以替代非阿基米德情形下的完整共变性。
• 应用几何准则：若在某集合中不存在非空的 $X \times X$-弱共变子簇，则唯一的不变分布必为零。
• 通过在 $V \times V^*$、$\mathfrak{sl}(V)$ 和 $X$ 上使用傅里叶变换，将问题约化为分析分布及其变换的支集。
• 通过维数分析与多项式消去论证，证明关键几何命题：某些集合 $R_A$ 不含非空弱共变子簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏D-模理论的非阿基米德情形下，能否将分布奇点支集的可积性定理推广？
• RQ2 在p进域设定下，共变性的正确类比是什么？该类比能否用于证明表示论结果？
• RQ3 能否利用新框架在所有局部域上统一证明 $GL_n$ 的重数一性定理？
• RQ4 能否利用波前集技术将对称对的Gelfand性质结果推广至特征零的任意局部域？
• RQ5 在不变分布支集上，何种几何条件可推出其平凡性？如何通过弱共变性建立此类条件？

主要发现

• 将分布的奇点支集定义为波前集的Zariski闭包后，其为弱共变，该性质已足够支持关键应用。
• 弱共变性的证明基于非阿基米德情形下波前集的基本性质，无需依赖D-模理论。
• 本文建立了在任意特征零局部域上，对称对的非阿基米德类Gelfand性质。
• 在所有局部域上实现了 $GL_n$ 重数一性定理的统一证明，统一了此前对阿基米德与非阿基米德情形的结果。
• 关键几何命题——即 $\check{S}'$ 中不存在非空 $X \times X$-弱共变子簇——通过证明 $R_A \cap L_{ii}$ 的维数小于 $2n$ 而得证，从而推出此类子簇为空。
• 证明依赖于一个多项式 $f(v_1, \phi_1, v_2, \phi_2) = (v_1)_i(\phi_2)_{i+1} - (v_2)_i(\phi_1)_{i+1}$ 在 $R_A \cap L_{ii}$ 上恒为零，该结论源于存在一个幂零解 $B$ 满足 $[A, B] = M$ 且 $M_{i,i+1} = f$。