[论文解读] A Partial Data Result for the Magnetic Schrodinger Inverse Problem

Francis J. Chung|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过证明：在强凸性等几何条件下，当狄利克雷数据在边界'后侧'的邻域上支撑时，测量于边界'前侧'邻域的诺伊曼-狄利克雷映射唯一确定磁势和电势——反之亦然——从而建立了磁薛定谔逆问题的部分数据唯一性结果。该结果通过利用伪微分共轭对Carleman估计进行修正，将先前的全数据唯一性结果推广至部分数据情形。

ABSTRACT

This article shows that knowledge of the Dirichlet-Neumann map on certain subsets of the boundary for input functions supported roughly on the rest of the boundary can be used to determine a magnetic Schrödinger operator. With some geometric conditions on the domain, either the subset on which the DN map is measured or the subset on which the input functions have support may be made arbitrarily small. This is an improvement on the partial data result in a paper by Dos Santos Ferreira, Kenig, Sjöstrand, and Uhlmann. The method involves modifying the Carleman estimate in that paper by conjugation with operators built from pseudodifferential pieces.

研究动机与目标

• 解决[DKSU]中提出的关于磁薛定谔逆问题部分数据唯一性的问题。
• 建立当函数在互补子集上支撑时，边界邻域上诺伊曼-狄利克雷映射唯一确定磁势与电势的结果。
• 证明在强凸性条件下，测量区域或数据支撑区域可被任意缩小。
• 通过精细的半经典分析技术，将非磁性情形下的部分数据结果推广至磁薛定谔算子。

提出的方法

• 通过与类伪微分算子共轭，对[DKSU]中的Carleman估计进行修正，以处理磁项。
• 利用规范变换将问题转化为磁势被消除至调和函数程度的形式。
• 构造满足特定复特征方程的复几何光学解，以生成近似解。
• 通过与全纯函数的积分对偶性论证，提取关于势函数差的信息。
• 利用斯托克斯公式与全纯函数的性质，导出迫使势函数差消失的积分恒等式。
• 通过过原点的平面进行分层论证，证明磁1-形式的差几乎处处为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 磁薛定谔逆问题的部分数据唯一性结果能否推广至仅知边界子集上诺伊曼-狄利克雷映射及数据在互补子集上支撑的情形？
• RQ2 在何种区域几何条件下，可使测量区域或数据支撑区域任意缩小？
• RQ3 是否可利用修正的Carleman估计，从部分诺伊曼-狄利克雷映射知识中恢复磁势与电势？
• RQ4 诺伊曼-狄利克雷映射的规范不变性如何影响部分数据重构？能否通过共轭技术克服此问题？
• RQ5 非磁性情形下使用的方法能否被适配至磁性情形，以实现类似的局部数据唯一性？

主要发现

• 当区域为强凸时，若输入函数在边界'后侧'邻域上支撑，则测量于边界'前侧'邻域的诺伊曼-狄利克雷映射唯一确定磁势与电势。
• 当'前侧'与'后侧'角色互换时，相同结果依然成立，表明在部分数据设定下具有对称性。
• 在强凸性条件下，测量区域与支撑区域可被任意缩小，意味着即使边界访问极小，结果依然成立。
• 磁势的差几乎处处为零，即 $ dW_1 = dW_2 $，这是由全纯测试函数与平面分层导出的积分恒等式所决定。
• 电势的差几乎处处为零，即 $ q_1 = q_2 $，通过使用全纯函数的对偶性论证及相位函数结构得出。
• 证明依赖于经类伪微分算子共轭的修正Carleman估计，该方法可有效控制逆问题中磁项的影响。