[论文解读] A partially observed non-zero sum differential game of forward-backward stochastic differential equations and its application in finance

Jie Xiong, Shuaiqi Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文为由前向-后向随机微分方程（FBSDEs）驱动的非零和随机微分博弈中，基于部分观测的开环纳什均衡，推导出最大值原理与验证定理，其中每位参与者的控制策略均适应于其自身的观测过滤。关键贡献在于，通过随机滤波方法，显式推导出金融应用中的可观测投资策略，以及由此导出的均衡条件。

ABSTRACT

In this article, we concern a kind of partially observed non-zero sum stochastic differential game based on forward and backward stochastic differential equations (FBSDEs). It is required that each player has his own observation equation, and the corresponding open-loop Nash equilibrium control is required to adapted to the filtration that the observation process generated. To find this open-loop Nash equilibrium point, we prove the maximum principle as a necessary condition of the existence of this point, and give a verification theorem as a sufficient condition to verify it is the real open-loop Nash equilibrium point. Combined this with reality, a financial investment problem is raised. We can obtain the explicit observable investment strategy by using stochastic filtering theory and the results above.

研究动机与目标

• 建立部分观测非零和微分博弈中开环纳什均衡存在的必要与充分条件，该博弈涉及前向-后向随机微分方程（FBSDEs）。
• 将最大值原理与验证定理扩展至参与者具有独立观测过程、且控制策略适应于各自过滤的设定。
• 将理论框架应用于部分信息下的实际金融投资问题，显式推导可观测投资策略。
• 将随机滤波理论与基于FBSDE的博弈论相结合，以处理动态金融决策中的不完全信息。
• 通过显式求解后向SDE与卡尔曼-布齐滤波，展示均衡策略的可解性。

提出的方法

• 利用伴随过程与变分法，推导出部分观测FBSDE博弈中纳什均衡的必要条件——最大值原理。
• 提出验证定理，基于系统的凸性与线性，确认满足最大值原理的候选控制策略确为开环纳什均衡。
• 应用随机滤波理论，通过利用创新过程对未观测状态进行估计，将部分观测系统转化为马氏形式。
• 利用Kushner-FKK方程，推导在部分信息下伴随过程（如 $\widehat{p}_1(t)$, $\widetilde{p}_2(t)$）的条件期望动态。
• 求解误差协方差矩阵 ($P_1(t)$, $P_2(t)$) 的Riccati型方程，以刻画滤波估计。
• 基于滤波状态估计与指数鞅，显式构造开环纳什均衡投资策略 $\bar{I}_1(t)$ 与 $\bar{I}_2(t)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将最大值原理扩展至涉及前向-后向随机微分方程的非零和微分博弈，在部分信息设定下？
• RQ2 在部分观测FBSDE博弈中，何种条件可确保候选控制策略为真正的开环纳什均衡？
• RQ3 如何将随机滤波与博弈论控制相结合，以在金融市场中推导可观测投资策略？
• RQ4 当每位参与者仅通过各自的观测方程观测状态过程的子集时，均衡策略的结构是怎样的？
• RQ5 在基于线性-二次的金融应用中，能否利用所提框架显式求解均衡投资策略？

主要发现

• 本文建立了部分观测非零和FBSDE博弈中开环纳什均衡存在的最大值原理作为必要条件。
• 提出了验证定理，确保在凸性与线性假设下，满足最大值原理的候选控制策略确为纳什均衡。
• 通过随机滤波与关联后向SDE的求解，显式推导出均衡投资策略 $\bar{I}_1(t)$ 与 $\bar{I}_2(t)$ 的闭式表达。
• 伴随过程 $\widehat{p}_1(t)$ 与 $\widetilde{p}_2(t)$ 的滤波动态通过创新过程与卡尔曼-布齐型方程刻画，导出包含 $\widehat{b^1}(t)$ 与 $\widetilde{b^2}(t)$ 的显式表达式。
• 误差协方差矩阵 $P_1(t)$ 与 $P_2(t)$ 满足唯一的Riccati方程，确保滤波估计的稳定性和可解性。
• 最终的均衡策略表达为 $\bar{I}_1(t) = \frac{1}{2}e^{\beta t}L_1^{-1}M_1\exp\left\{\int_0^t[-r(s)-\frac{1}{2}\widehat{b^1}(s)^2]ds - \int_0^t\widehat{b^1}(s)d\widehat{W}^1(s)\right\}$，且 $\bar{I}_2(t)$ 的表达式类似，显示出对滤波信号与风险调整漂移的依赖。