[论文解读] A particular class of solutions of a system of eikonal equations

Thierry Champion, Gisella Croce|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种变分选择方法，用于选择满足几乎处处梯度模为1的eikonal方程组的解。通过最小化基于梯度间断集的Hausdorff测度（加权或非加权）的泛函，该方法识别出一类特殊解，在定义域满足特定几何条件时，证明了其存在性与唯一性，并提出了针对多个最小化解的递归选择程序。

ABSTRACT

In this article we study a system of eikonal equations. Our aim is to isolate the solutions which minimise the discontinuity set of the gradient.

研究动机与目标

• 在满足几乎处处 |∂u/∂xi| = 1 的eikonal方程组的无穷多解中，识别出一类特定解。
• 克服解集缺乏凸性的问题，该问题使得标准Lp或BV型泛函的最小化方法失效。
• 基于偏导数 ∂u/∂xi 的间断集，提出一种基于变分准则的优选解选择方法。
• 为两类泛函建立最小化解的存在性：一类基于跳跃集的(N−1)维Hausdorff测度，另一类带有权函数h。
• 当存在时，将所选解与粘性解关联起来，特别是在N=1和N=2维情形下。

提出的方法

• 将解集S(Ω)定义为所有满足几乎处处在Ω内 |∂u/∂xi| = 1（i=1,…,N）的u ∈ W^{1,∞}(Ω) ∩ C₀(Ω)。
• 引入泛函F(v) = ∑_{i=1}^N ℋ^{N−1}(J_{∂v/∂xi})，以最小化偏导数的总跳跃集测度。
• 对于一般定义域，使用加权泛函F_h(v) = ∑_{i=1}^N ∫_{J_{∂v/∂xi}} h(x) dℋ^{N−1}(x)，其中h ∈ C₀(Ω)，h ≥ 0。
• 利用BV和SBV空间中紧致性与下半连续性的变分直接法。
• 通过定理6.1–6.3在BV和SBV空间中的序列紧致性，以及定理6.4的下半连续性，证明最小化解的存在性。
• 提出一种递归选择方法，利用L²正交基函数来区分F_h的多个最小化解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从eikonal系统 |∂u/∂xi| = 1 a.e. 的无穷多解中唯一选出一个解？
• RQ2 最小化 ∂u/∂xi 跳跃集的(N−1)维Hausdorff测度是否构成一个适定的变分问题？
• RQ3 当粘性解存在时，F_h的最小化解与之有何关系？
• RQ4 能否通过额外的变分准则来区分F_h的多个最小化解？
• RQ5 是否存在一种系统性方法，从F_h的最小化解集合中选出唯一一个解？

主要发现

• 当定义域Ω的边界由有限个面组成，且其法向量属于E = {x : |x_i| = 1/√N 对所有i成立} 时，泛函F(v) = ∑_{i=1}^N ℋ^{N−1}(J_{∂v/∂xi}) 在S(Ω)中存在最小化解。
• 对于一般的Lipschitz定义域，泛函F在S(Ω)上通常为无穷大，因此引入权函数h ∈ C₀(Ω)的加权泛函F_h，并证明其存在最小化解。
• 当N=1或N=2时，若粘性解存在，则F_h的最小化解与之唯一重合。
• F_h的最小化解集合可能包含超过两个函数；为此提出一种基于L²正交基的递归选择方法，以分离出唯一一个解。
• 最小化过程依赖于BV和SBV空间中的紧致性，以及导数的Lebesgue部分与跳跃部分的弱*收敛性。
• 该方法确保任何最小化F_h的序列都存在子序列收敛于一个最小化解，其依据为直接法及跳跃变差的下半连续性。