[论文解读] A passivity-based stability criterion for a class of interconnected systems and applications to biochemical reaction networks

Murat Arcak, Eduardo D. Sontag|arXiv (Cornell University)|May 22, 2007

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 27被引用 23

一句话总结

本文提出了一种基于无源性的稳定性准则，适用于互联系统的非线性系统，特别适用于生化反应网络。通过构建一个耗散性矩阵，该矩阵编码了子系统无源性、互连结构以及相互作用的符号模式，该方法通过该矩阵的对角稳定性确定全局渐近稳定性——将 secant 准则推广至一般图拓扑结构，并可分析包含状态乘积的系统，如 MAPK 级联和分支代谢网络。

ABSTRACT

This paper presents a stability test for a class of interconnected nonlinear systems motivated by biochemical reaction networks. One of the main results determines global asymptotic stability of the network from the diagonal stability of a "dissipativity matrix" which incorporates information about the passivity properties of the subsystems, the interconnection structure of the network, and the signs of the interconnection terms. This stability test encompasses the "secant criterion" for cyclic networks presented in our previous paper, and extends it to a general interconnection structure represented by a graph. A second main result allows one to accommodate state products. This extension makes the new stability criterion applicable to a broader class of models, even in the case of cyclic systems. The new stability test is illustrated on a mitogen activated protein kinase (MAPK) cascade model, and on a branched interconnection structure motivated by metabolic networks. Finally, another result addresses the robustness of stability in the presence of diffusion terms in a compartmental system made out of identical systems.

研究动机与目标

• 为受生化反应网络启发的互联系统非线性系统开发稳定性准则，特别关注复杂互连拓扑结构，超越简单循环结构。
• 将适用于循环系统的 secant 准则推广至由图表示的一般互连结构，从而扩大其在真实生物网络中的适用性。
• 在模型中引入状态乘积，这些在先前工作中被排除，从而实现对更现实的生化系统（如具有抑制性反馈的 MAPK 级联）的分析。
• 通过建模空间隔室化并证明当存储函数满足凸性条件时稳定性得以保持，建立稳定性在扩散项下的鲁棒性。
• 提供可验证的状态空间条件以确保无源性，而无需知晓平衡点位置，适用于系统生物学中常见的非负状态变量系统。

提出的方法

• 构建耗散性矩阵 $ E = A - \Gamma $，其中 $ A $ 编码互连结构和项的符号，$ \Gamma = \text{diag}(1/\gamma_i) $ 反映各个子系统的无源裕度 $ \gamma_i $。
• 应用对角稳定性条件：存在一个对角矩阵 $ D > 0 $，使得 $ E^T D + D E < 0 $，该条件可保证互联系统的全局渐近稳定性。
• 使用由各个子系统存储函数加权构成的复合 Lyapunov 函数，证明稳定性而不依赖于平衡点位置。
• 提出一种新的存储函数构造方法，以容纳状态乘积，推广先前工作的思路，从而能够分析生化动力学中常见的非线性项。
• 通过具有隔室间扩散项的隔室系统建模空间定位，并证明当每个隔室满足基于无源性的稳定性条件且存储函数为凸函数时，稳定性得以保持。
• 利用输入/输出无源性理论，并借鉴 [27,28] 中的引理，将 I/O 稳定性结果与状态空间 Lyapunov 方法联系起来，从而实现对扰动下的鲁棒性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将适用于循环生化网络的 secant 准则推广至由图表示的任意互连结构？
• RQ2 如何将基于无源性的稳定性分析扩展至包含状态乘积的系统，而这些系统在以往研究中被排除？
• RQ3 在生化网络的隔室化模型中引入扩散项时，全局渐近稳定性在何种条件下仍能保持？
• RQ4 何种可验证的状态空间条件可确保子系统的无源性，而无需知晓平衡点位置？
• RQ5 能否推导出显式关联反应速率系数与稳定性的分析条件，而不仅仅是数值的 LMI 检查？

主要发现

• 所提出的稳定性准则将 secant 准则推广至任意互连图结构，循环情形为其中一种特例。
• 该方法通过检查耗散性矩阵 $ E $ 的对角稳定性来确定全局渐近稳定性，该矩阵综合了子系统无源性、互连结构和符号信息。
• 当每个隔室满足基于无源性的稳定性条件且存储函数为凸函数时，该准则对隔室化模型中的扩散项具有鲁棒性。
• 新的存储函数构造方法使得能够分析包含状态乘积的系统，例如具有抑制性反馈的 MAPK 级联模型，该类系统在先前框架下难以处理。
• 对于示例 2 中的分支互连结构，推导出类似于 secant 准则的解析条件，表明进一步解析表征具有潜力。
• 可通过线性矩阵不等式（LMI）求解器高效地进行对角稳定性数值验证，从而实现对大规模网络的实际应用。