[论文解读] A Path Integral Approach to Derivative Security Pricing: I. Formalism and Analytical Results

M. Rosa-Clot, Stefano Taddei|RePEc: Research Papers in Economics|Jan 26, 1999

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文提出了一种衍生证券定价的路径积分公式，建立了在一维和多维设定下，具有状态依赖漂移和波动率时，与随机微分方程（SDE）和偏微分方程（PDE）的等价性。它采用协变形式推导出金融模型的解析解，支持一般坐标变换，为连续时间金融中的衍生品定价提供了一套新的计算框架。

ABSTRACT

We use a path integral approach for solving the stochastic equations underlying the financial markets, and we show the equivalence between the path integral and the usual SDE and PDE methods. We analyze both the one-dimensional and the multi-dimensional cases, with point dependent drift and volatility, and describe a covariant formulation which allows general changes of variables. Finally we apply the method to some economic models with analytical solutions. In particular, we evaluate the expectation value of functionals which correspond to quantities of financial interest.

研究动机与目标

• 开发金融市场上衍生证券定价的路径积分框架。
• 在单维和多维模型中，证明路径积分方法与SDE和PDE方法之间的等价性。
• 引入协变形式，以支持随机模型中的一般变量变换。
• 利用路径积分方法推导金融模型的解析解。
• 通过路径积分技术评估金融泛函的期望值。

提出的方法

• 以福克-普朗克方程为起点，形式化资产价格的随机过程。
• 通过费曼-卡茨公式，将福克-普朗克方程映射为路径积分表示。
• 将路径积分形式化应用于单维和多维扩散过程。
• 引入协变形式，以处理状态空间中的一般坐标变换。
• 利用路径积分计算金融模型中收益泛函的期望值。
• 验证在几何布朗运动等标准模型中与已知解析解的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 路径积分形式化能否系统地应用于金融市场中的衍生品定价？
• RQ2 与传统的SDE和PDE方法相比，路径积分方法在等价性和计算实用性方面如何？
• RQ3 坐标变换在简化多维模型路径积分计算中起什么作用？
• RQ4 能否利用路径积分方法为标准金融模型推导出解析解？
• RQ5 金融收益泛函在路径积分框架中如何表达和评估？

主要发现

• 路径积分公式在数学上与标准SDE和PDE方法在衍生品定价中等价。
• 该方法成功复现了如几何布朗运动等模型的已知解析解。
• 协变形式允许进行一般变量变换，同时保持路径积分的结构。
• 通过路径积分计算金融泛函的期望值，提供了一条新的计算路径。
• 该方法适用于具有点依赖漂移和波动率的多维模型。
• 该形式化提供了一个统一框架，将统计力学技术与金融建模相连接。