[论文解读] A PDE Derivation of the Schrödinger--Bass Bridge

Alexandre Alouadi, Pierre Henry-Labordère+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2026

Stochastic processes and financial applications被引用 0

一句话总结

该论文给出在一维下的直接偏微分方程推导，表明 Schrödinger–Bass 桥（SBB）通过勒让德变换和热方程解决，揭示一种拉伸的 Schrödinger 桥表示，插值 Sinkhorn 与 Bass 构造之间的关系。

ABSTRACT

This short paper announces the main results of \cite{SBB2026}, where the Schrödinger--Bass Bridge (SBB) problem is introduced and studied in full generality. Here we provide a direct PDE derivation of the SBB system in dimension one, showing how the optimal coupling problem that interpolates between the classical Schrödinger bridge and the Bass martingale transport can be solved explicitly via Legendre transforms and the heat equation. A key insight is that the optimal SBB process is a Stretched Schrödinger Bridge: the composition of a monotone transport map with a Schrödinger bridge. This extends the stretched Brownian motion representation of Bass martingales to the semimartingale setting and provides a unified framework that recovers both the Sinkhorn algorithm (in the limit $β o \infty$) and the Bass construction (as $β o 0$). We refer to \cite{SBB2026} for complete proofs, the multidimensional setting, strong duality, dual attainment, and further developments.

研究动机与目标

• 将 Schrödinger–Bass 桥（SBB）作为 Schrödinger 桥与 Bass martingale 问题之间的插值来动机化。
• 使用 PDE 方法和勒让德对偶性，在一维导出 SBB 系统。
• 证明最优 SBB 过程可以通过一个拉伸的 Schrödinger 桥来表示。
• 提供一个统一框架，在大 β 极限下恢复 Sinkhorn，在小 β 极限下恢复 Bass。

提出的方法

• 将原始 SBB 问题以漂移和波动性惩罚形式建立，并推导对偶 HJB 方程。
• 进行一系列变换：从 v 定义 u，应用勒让德变换得到 u*，再通过 w 和 h 化简为热方程。
• 引入传输映射 𝒴 与 𝒳，作为与 h 相关的凸势梯度，给出最优漂移与扩散的显式表达。
• 证明 Y_t 服从带有势能 h 的 Schrödinger 桥，解向后热方程，X_t 通过对 Y_t 的单调传输得到。
• 给出将时间边际 μ_t 与 Schrödinger 成分 h 通过映射 𝒳 以及前向/后向热方程耦合的 SBB 系统。
• 概述一种迭代的类似 Sinkhorn 的方案，通过在设定中导出的 Monge–Ampère 结构来强制边际条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何直接在一维从 PDE 推导 Schrödinger–Bass 桥？
• RQ2 如何利用勒让德对偶性和热方程获得 SBB 系统的显式表示？
• RQ3 SBB 是否可解释为一个拉伸的 Schrödinger 桥，统一 Schrödinger 桥与 Bass martingale 的方法？
• RQ4 β → ∞ 与 β → 0 时 SBB 的极限行为是什么，分别如何得到 Sinkhorn 与 Bass？
• RQ5 如何通过 Sinkhorn 型算法数值计算 SBB 解？

主要发现

• 1) 一维的 SBB 解可以表示为一个拉伸的 Schrödinger 桥，其中 Y_t 是 Schrödinger 桥，X_t 通过对 Y_t 的单调传输得到。
• 2) 最优动力学由漂移 α(t,x)=∂_x v(t,x)=β(x−𝒴(t,x)) 与扩散 σ(t,x)=1/(1−∂_{xx}v/β) 给出，并与 𝒴 与 𝒳 的映射相关联。
• 3) 一系列变换（u, u*, w, h）将 HJB 结构化简为对线性热方程 h 的形式，从而能够显式构造。
• 4) 时间边际满足 μ_t = 𝒳(t,.)_# (h(t,.) ν_t)，其中 h 满足 ∂_t h + 1/2 ∂_{yy} h = 0，ν 满足 ∂_t ν = 1/2 ∂_{xx} ν。
• 5) SBB 系统统一 Sinkhorn 与 Bass，通过 𝒳 与 h 的行为在大 β 极限恢复 Schrödinger，在小 β 极限恢复 Bass。
• 6) 提出一种迭代的 Sinkhorn 型方案，通过交替映射与密度更新来计算 SBB 解。