[论文解读] A permuted random walk exits faster

Richard Pymar, Perla Sousi|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究在状态空间 {0, ..., n} 上的置换随机游走，其中转移由状态的置换 σ 决定。证明了当从 0 开始时，恒等置换 σ 最大化到达 n 的期望 hitting 时间，最大期望时间为 n² + n。该结果推广至一般强连通的 d-正则有向图，表明带自环的线图 L(d,n) 在所有此类图中最大化 hitting 时间。

ABSTRACT

Let $σ$ be a permutation of $\{0,\ldots,n\}$. We consider the Markov chain $X$ which jumps from $k eq 0,n$ to $σ(k+1)$ or $σ(k-1)$, equally likely. When $X$ is at 0 it jumps to either $σ(0)$ or $σ(1)$ equally likely, and when $X$ is at $n$ it jumps to either $σ(n)$ or $σ(n-1)$, equally likely. We show that the identity permutation maximizes the expected hitting time of n, when the walk starts at 0. More generally, we prove that the hitting time of a random walk on a strongly connected $d$-directed graph is maximized when the graph is the line $[0,n]\cap\Z$ with $d-2$ self-loops at every vertex and $d-1$ self-loops at 0 and $n$.

研究动机与目标

• 确定 {0,…,n} 的置换 σ 中，哪一种使由 σ 定义的马尔可夫链从 0 开始到达状态 n 的期望 hitting 时间最大。
• 确立恒等置换使从 0 到 n 的退出时间最慢（即期望 hitting 时间最长）。
• 将结果推广至每个顶点入度与出度均为 d ≥ 2 的强连通有向图。
• 证明线图 L(d,n)（在端点处有 d−1 个自环，其余位置有 d−2 个自环）在所有此类 d-正则有向图中使 hitting 时间最大化。

提出的方法

• 将置换随机游走建模为有向图上的马尔可夫链，其中从 k 出发的转移依赖于 σ(k±1)，并在 0 和 n 处设置边界规则。
• 将该过程表示为所有顶点入度与出度均为 d = 2 的强连通有向图上的简单随机游走。
• 应用关于 d-正则有向图的一般定理（定理 1.4）来界定期望 hitting 时间。
• 使用图论工具，包括欧拉性质、虚构边扩展以及平稳分布论证，来界定返回时间与 hitting 时间。
• 证明定理 1.4 中的界仅在图 L(d,n) 时达到紧致性，该图在 d=2 情况下对应于恒等置换。
• 通过归纳法与子图的结构分析，证明任何偏离 L(d,n) 结构的情况都会严格减少期望 hitting 时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在置换随机游走中，从 0 开始时，{0,…,n} 的哪种子置换 σ 最大化到达 n 的期望 hitting 时间？
• RQ2 恒等置换是否是该模型中期望 hitting 时间的唯一最大值？
• RQ3 对于一般的 d-正则强连通有向图，哪种结构使两个顶点之间的期望 hitting 时间最大？
• RQ4 带适当自环的线图 L(d,n) 是否在所有此类图中实现最大可能的期望 hitting 时间？
• RQ5 当目标集为 {−n, n} 而非单个端点时，期望 hitting 时间的行为如何？

主要发现

• 对于任意置换 σ，期望 hitting 时间 E₀[τₙ] 的上界为 n² + n。
• 当且仅当 σ 为恒等置换时，上界 E₀[τₙ] = n² + n 达到等号。
• 对于一般的 d-正则强连通有向图，任意两个顶点之间的最大期望 hitting 时间被上界 (d/2)n(n+1) 所限制。
• 该上界当且仅当图同构于 L(d,n)（即端点处有 d−1 个自环，其余位置有 d−2 个自环）时达到。
• 置换随机游走可嵌入为 2-正则有向图上的简单随机游走，从而可应用定理 1.4。
• 在对称情况下，目标集为 {−n, n} 时，恒等置换并非唯一最大值；其他置换如 σ(x) = −x 也能实现较高的 hitting 时间。