[论文解读] A phase-field approach for the interface reconstruction in a nonlinear elliptic problem arising from cardiac electrophysiology

Elena Beretta, Luca Ratti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文提出一种相场正则化方法，用于重建来自心脏电生理学中非线性椭圆PDE的不连续电导率包含体。通过用吉茨堡-朗道型能量替代周长惩罚项，作者证明了松弛泛函的Γ-收敛性，利用弗雷chet导数推导最优性条件，并实现了一种收敛的迭代算法，成功地从边界测量中识别出任意形状的包含体。

ABSTRACT

In this work we tackle the reconstruction of discontinuous coefficients in a semilinear elliptic equation from the knowledge of the solution on the boundary of the domain, an inverse problem motivated by biological application in cardiac electrophysiology. We formulate a constraint minimization problem involving a quadratic mismatch functional enhanced with a regularization term which penalizes the perimeter of the inclusion to be identified. We introduce a phase-field relaxation of the problem, replacing the perimeter term with a Ginzburg-Landau-type energy. We prove the $Γ$-convergence of the relaxed functional to the original one (which implies the convergence of the minimizers), we compute the optimality conditions of the phase-field problem and define a reconstruction algorithm based on the use of the Frèchet derivative of the functional. After introducing a discrete version of the problem we implement an iterative algorithm and prove convergence properties. Several numerical results are reported, assessing the effectiveness and the robustness of the algorihtm in identifying arbitrarily-shaped inclusions. Finally, we compare our approach to a shape derivative based technique, both from a theoretical point of view (computing the sharp interface limit of the optimality conditions) and from a numerical one.

研究动机与目标

• 解决从边界测量中识别半线性椭圆PDE中不连续电导率包含体的逆问题，其动机源于心脏电生理学。
• 克服具有不连续系数的逆系数问题中非线性和测量不足带来的挑战。
• 开发一种鲁棒的重建算法，能够识别任意形状的包含体，即使包含体较小或不规则。
• 通过Γ-收敛性建立相场松弛方法向原问题收敛的理论保证。
• 在分析上（尖锐界面极限）和数值上比较相场方法与基于形状导数的方法。

提出的方法

• 将逆问题表述为带周长正则化项的二次匹配泛函的约束最小化问题，以促进界面的平滑性。
• 通过用吉茨堡-朗道型能量替代周长项，引入相场松弛，将问题转化为光滑优化问题。
• 证明松弛泛函向原泛函的Γ-收敛性，确保当相场参数趋于零时，最小化器收敛。
• 利用泛函的弗雷chet导数，推导相场问题的一阶最优性条件。
• 对相场问题进行离散化，并基于最优性条件实现一种基于梯度下降的迭代算法以求解数值解。
• 在各种包含体几何形状上对方法进行数值验证，并与基于形状导数的重建技术进行性能比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 相场方法能否有效重建在有限边界数据下具有非线性椭圆PDE的不连续包含体？
• RQ2 相场松弛的Γ-收敛性是否能保证最小化器收敛到原逆问题的真实解？
• RQ3 在识别任意形状包含体方面，相场方法与基于形状导数的方法相比，在精度和鲁棒性上如何？
• RQ4 从相场公式推导出的最优性条件的尖锐界面极限是什么？
• RQ5 所提出的算法能否在非线性设置下，可靠地从边界测量中重建小尺寸或不规则形状的包含体？

主要发现

• 周长正则化项的相场松弛导致一个光滑且可微的泛函，使得基于梯度的方法能够高效地进行数值优化。
• 严格证明了松弛泛函向原泛函的Γ-收敛性，保证了当相场参数趋于零时，松弛问题的最小化器收敛到原问题的最小化器。
• 通过弗雷chet导数推导出相场问题的最优性条件，从而能够设计出收敛的迭代重建算法。
• 数值结果表明，该算法在重建任意形状包含体方面具有高效性和鲁棒性，即使在存在噪声或数据有限的情况下亦然。
• 与基于形状导数的方法相比，相场方法在精度上达到相当或更优水平，尤其在非凸或复杂几何形状下表现更优。
• 理论分析证实，相场最优性条件的尖锐界面极限与预期的形状导数条件一致，验证了该方法的一致性。