[论文解读] A phase-space method for the Bose-Hubbard model

Poonam Jain, C. W. Gardiner|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2004

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于Q函数表示的相空间方法，用于近似玻色- Hubbard 模型的基态，采用单格点和双格点的平均场近似。结果表明，量子约束——尤其是不确定度关系——主导了相图结构，与精确解具有良好的定性一致性，尽管由于参数化限制，双格点模型未能正确预测 Mott 绝缘体相变。

ABSTRACT

We present a phase-space method for the Bose-Hubbard model based on the Q-function representation. In particular, we consider two model Hamiltonians in the mean-field approximation; the first is the standard "one site" model where quantum tunneling is approximated entirely using mean-field terms; the second "two site" model explicitly includes tunneling between two adjacent sites while treating tunneling with other neighbouring sites using the mean-field approximation. The ground state is determined by minimizing the classical energy functional subject to quantum mechanical constraints, which take the form of uncertainty relations. For each model Hamiltonian we compare the ground state results from the Q-function method with the exact numerical solution. The results from the Q-function method, which are easy to compute, give a good qualitative description of the main features of the Bose-Hubbard model including the superfluid to Mott insulator. We find the quantum mechanical constraints dominate the problem and show there are some limitations of the method particularly in the weak lattice regime.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的基态近似方法，适用于玻色- Hubbard 模型在超流体和 Mott 绝缘体相中的表现。
• 研究量子力学约束（尤其是不确定度关系）在决定该模型相结构中的作用。
• 在平均场近似下，将 Q 函数相空间方法与一维和双格点模型的精确数值解进行比较。
• 评估双格点 Q 函数方法在捕捉 Mott 绝缘体相变时的局限性。
• 探讨将该方法扩展至超过两个格点是否能提高与 DMRG 和 QMC 等数值精确结果的一致性。

提出的方法

• 采用 Q 函数表示将玻色- Hubbard 哈密顿量重新参数化为高斯变量形式，从而实现类经典相空间描述。
• 通过在由不确定度关系导出的量子约束下最小化经典能量泛函来寻找基态：一个关于占据数方差的约束，另一个关联占据数与相位涨落。
• 研究了两种模型哈密顿量：一种是采用完全平均场处理隧穿作用的单格点模型，另一种是显式包含格点间隧穿但对其他邻居采用平均场处理的双格点模型。
• 单格点模型通过在占据数方差和平均场振幅上进行变分优化精确求解，等价于 Gutzwiller 变分假设。
• 双格点模型通过 Q 函数方法和在晶格对称性假设下的精确数值最小化求解。
• 结果与 DMRG 和量子蒙特卡洛等数值精确方法进行比较，尤其针对一维晶格。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 Q 函数的相空间方法能否准确描述玻色- Hubbard 模型中超流体到 Mott 绝缘体相变？
• RQ2 量子力学不确定度约束如何影响一维和双格点平均场近似下的基态结构？
• RQ3 为何双格点 Q 函数方法尽管具有良好的定性一致性，却未能正确预测 Mott 绝缘体相？
• RQ4 Q 函数方法与精确数值方法相比，相变的临界相互作用强度 $\overline{U}_c$ 预测结果如何？
• RQ5 将双格点模型扩展至包含更多格点在多大程度上能提高与 DMRG 和 QMC 等精确结果的一致性？

主要发现

• Q 函数方法能定性准确地描述超流体到 Mott 绝缘体相变，对于单格点模型，结果通常与精确解相差在 5% 以内。
• 单格点 Q 函数方法与精确数值解高度一致，且计算时间仅为后者的几分之一。
• 双格点 Q 函数方法未能正确预测 Mott 绝缘体相，因其在相变点未产生零平均场，而精确的双格点解则表现出此特征。
• 精确的双格点解显示出明确的相变行为，且在填充数为整数时平均场趋于零，与 Mott 绝缘体相一致。
• 与单格点模型相比，双格点精确解的临界相互作用强度 $\overline{U}_c$ 更低，且在一维中该偏移最为显著。
• 结果表明，量子约束——尤其是占据数方差的下限——在决定基态结构中起主导作用，特别是在 Mott 绝缘体相的起始阶段。