[论文解读] A Physical Origin for Singular Support Conditions in Geometric Langlands Theory

Chris Elliott, Philsang Yoo|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 104被引用 6

一句话总结

本文通過展示其源自B扭轉N=4超對稱 gauge 理論，確立了幾何朗道-西格爾理論中零幂奇異支撐條件的物理起源。利用同調代數幾何與因子代數，作者證明將邊界條件限制在真空 0 ∈ h*/W 時，會產生阿林金-蓋茨戈里類別，並猜想將此類類別對 GLn 進行整合，可揭示幾何朗道-西格爾對偶性背後隱藏的因子代數結構。

ABSTRACT

We explain how the nilpotent singular support condition introduced into the geometric Langlands conjecture by Arinkin and Gaitsgory arises naturally from the point of view of N = 4 supersymmetric gauge theory. We define what it means in topological quantum field theory to restrict a category of boundary conditions to the full subcategory of objects compatible with a fixed choice of vacuum, both in functorial field theory and in the language of factorization algebras. For B-twisted N = 4 gauge theory with gauge group G, the moduli space of vacua is equivalent to h*/W , and the nilpotent singular support condition arises by restricting to the vacuum 0 in h*/W. We then investigate the categories obtained by restricting to points in larger strata, and conjecture that these categories are equivalent to the geometric Langlands categories with gauge symmetry broken to a Levi subgroup, and furthermore that by assembling such for the groups GL_n for all positive integers n one finds a hidden factorization structure for the geometric Langlands theory.

研究动机与目标

• 解釋阿林金與蓋茨戈里引入的幾何朗道-西格爾理論中零幂奇異支撐條件的物理起源，此為一項關鍵細節。
• 發展一種框架，用於將拓撲量子場論中邊界條件類別限制為與固定真空態相容者。
• 透過因子代數與微分幾何類別，將4d N=4 SUSY gauge 理論的同調真空模空間與幾何朗道-西格爾計畫聯繫起來。
• 猜想：將真空限制在真空模空間的較大層次時，對應於規範對稱性破缺至勒維子群。
• 提出：對所有 GLn（n ≥ 1）所限制類別的並集，將形成幾何朗道-西格爾理論背後隱藏的因子代數結構。

提出的方法

• 使用場論函子性與因子代數，形式化將邊界條件類別限制為與固定真空相容的數學概念。
• 應用經典BV形式化與同調代數幾何，構造B扭轉N=4 gauge 理論（規範群為G）的同調真空模空間。
• 識別真空模空間為 h*/W，其中 h* 為對權格，W 為外爾群。
• 透過微分幾何類別中物件的方案理論支撐來定義奇異支撐條件，特別關注零幂奇異支撐。
• 利用幾何薩塔克對應，將真空 0 處的邊界條件類別與幾何朗道-西格爾類別關聯起來。
• 透過整合限制於真空模空間較大層次中各點所獲得的勒維子群相關類別，構造一個候選因子代數。

实验结果

研究问题

• RQ1 在4d N=4 SUSY gauge 理論中，幾何朗道-西格爾理論的零幂奇異支撐條件如何從物理原理中自然產生？
• RQ2 B扭轉N=4 gauge 理論中同調真空模空間的數學結構為何？其與幾何朗道-西格爾計畫有何關聯？
• RQ3 能否在因子代數與場論函子性的語言中，系統性地形式化邊界條件類別對特定真空的限制？
• RQ4 將真空限制在真空模空間的高維層次（對應於 h*/W 中非零點）是否對應於規範對稱性破缺至勒維子群？
• RQ5 是否存在一個隱藏的因子代數結構，其在幾何朗道-西格爾理論中自然出現，並由所有 GLn（n ≥ 1）所關聯的限制類別的並集構成？

主要发现

• 零幂奇異支撐條件在B扭轉N=4 gauge 理論中，自然地作為邊界條件類別限制於真空 0 ∈ h*/W 的結果出現。
• B扭轉N=4 gauge 理論（規範群為G）的真空模空間微分同構於 h*/W，其中 h* 為對權格，W 為外爾群。
• 將邊界條件類別限制於某一真空，對應於在相關微分幾何類別上施加奇異支撐條件。
• 限制於真空 0 的邊界條件類別，與阿林金與蓋茨戈里定義的幾何朗道-西格爾類別同構。
• 限制於較大層次中的真空（對應於 h*/W 中非零點）所產生的類別，等價於規範對稱性破缺至勒維子群的幾何朗道-西格爾類別。
• 所有 GLn（n ≥ 1）的此類限制類別的並集，猜想構成一個因子代數，其編碼完整的幾何朗道-西格爾對偶性。