[论文解读] A physically-consistent, flexible and efficient strategy to convert local boundary conditions into nonlocal volume constraints

Marta D’Elia, Xiaochuan Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Numerical methods in engineering参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种物理一致、灵活且计算高效的算法，用于将基于表面的局部边界条件转换为非局部模型中的体积非局部体积约束。该方法在非局部性趋于零时，确保能量范数和$L^2$范数下二阶收敛，且无需几何、维度或正则性约束，每个问题实例仅需一次非局部求解。

ABSTRACT

Nonlocal models provide exceptional simulation fidelity for a broad spectrum of scientific and engineering applications. However, wider deployment of nonlocal models is hindered by several modeling and numerical challenges. Among those, we focus on the nontrivial prescription of nonlocal boundary conditions, or volume constraints, that must be provided on a layer surrounding the domain where the nonlocal equations are posed. The challenge arises from the fact that, in general, data are provided on surfaces (as opposed to volumes) in the form of force or pressure data. In this paper we introduce an efficient, flexible and physically consistent technique for an automatic conversion of surface (local) data into volumetric data that does not have any constraints on the geometry of the domain and on the regularity of the nonlocal solution and that is not tied to any discretization. We show that our formulation is well-posed and that the limit of the nonlocal solution, as the nonlocality vanishes, is the local solution corresponding to the available surface data. Quadratic convergence rates are proved for the strong energy and L-2 convergence. We illustrate the theory with one dimensional numerical tests whose results provide the ground work for realistic simulations.

研究动机与目标

• 为解决在非局部建模中仅能获取表面数据（如力或压力）时，如何施加非局部体积约束的挑战。
• 开发一种物理一致、计算高效且适用于任意几何形状和维度的方法。
• 确保当非局部参数趋于零时，非局部解收敛至相应的局部PDE解。
• 在不依赖非局部解高正则性的情况下，实现能量范数和$L^2$范数下的二阶收敛。
• 提供一种与空间离散化无关的框架，可使用标准PDE和非局部求解器作为黑箱实现。

提出的方法

• 该方法通过在非局部范围层内使用改进的体力分布，实现表面边界数据的体积扩展。
• 通过基于物理解释的变换，从表面数据推导出体积约束，从而构建非局部问题，确保其渐近收敛至局部PDE。
• 采用变分公式确保问题的适定性和稳定性，体积约束通过将表面数据一致地提升至域内获得。
• 采用Galerkin有限元离散化实现该方法，非局部算子通过具有有界支撑的核函数定义。
• 可直接使用标准非局部和PDE求解器作为黑箱，避免复杂的耦合或优化过程。
• 所提公式被证明是适定的，并在非局部性趋于零的极限下收敛至局部解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无几何或维度限制的前提下，将基于表面的边界数据转换为物理一致的非局部体积约束？
• RQ2 所提方法在非局部范围趋于零时，是否在能量范数和$L^2$范数下实现二阶收敛？
• RQ3 通过该方法获得的非局部解在非局部性趋于零的极限下，是否与相应的局部PDE解保持一致？
• RQ4 该方法是否可在非光滑或不规则域上应用，且无需非局部解具有高正则性？
• RQ5 该方法是否在保持精度和物理一致性的同时，维持计算效率？

主要发现

• 在局部解属于$C^4$的假设下，当非局部参数$\varepsilon$趋于零时，所提方法在能量范数和$L^2$范数下实现二阶收敛。
• 数值结果表明，Neumann和Dirichlet两种方法均呈现二次收敛率，能量范数和$L^2$范数下的观测收敛阶数接近2.0。
• 在所有测试的$\varepsilon$和$h$取值下，基于Dirichlet的方法误差均低于基于Neumann的方法，表明其具有更高的精度。
• 该方法在不同网格尺度$h$和非局部范围$\varepsilon$下均表现稳健，即使在$h$与$\varepsilon$同时按$h = \varepsilon^2$或$h = \varepsilon/4$的方式细化时，收敛性依然保持。
• 该公式是适定的，且保证非局部解在$\varepsilon \to 0$的极限下收敛至局部PDE解，确保渐近一致性。
• 计算成本等价于单次非局部模拟，相比基于优化的方法具有极高的效率。