[论文解读] A polyhedron comparison theorem for 3-manifolds with positive scalar curvature

Chao Li|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文建立了具有非负数量曲率的3-流形的多面体比较定理，证明对于包括锥体和柱体在内的广泛多面体类，除非流形同构于平坦多面体，否则二面角不可能逐点小于或等于其欧几里得模型的二面角。该结果通过双倍构造法与奇异度量的数量曲率分析，证实了格罗莫夫关于此类多面体的二面角刚性猜想。

ABSTRACT

The study of comparison theorems in geometry has a rich history. In this paper, we establish a comparison theorem for polyhedra in 3-manifolds with nonnegative scalar curvature, answering affirmatively a dihedral rigidity conjecture by Gromov. For a large collections of polyhedra with interior non-negative scalar curvature and mean convex faces, we prove the dihedral angles along its edges cannot be everywhere less or equal than those of the corresponding Euclidean model, unless it is a isometric to a flat polyhedron.

研究动机与目标

• 解决具有非负数量曲率的3-流形的格罗莫夫二面角刚性猜想。
• 在数量曲率与平均凸性约束下，建立3-流形中多面体的比较定理。
• 将几何比较理论从截面曲率与里奇曲率推广至数量曲率。
• 分析黎曼多面体的二面角相对于其欧几里得模型的行为。
• 证明：若非平坦多面体的二面角 ≤ 对应欧几里得模型的二面角，则其必然违反曲率或凸性条件。

提出的方法

• 通过在面上进行双倍构造，生成具有奇异度量的闭3-流形，同时保持数量曲率性质。
• 应用类似Yamabe的分析方法，证明正数量曲率在具有正平均曲率跃迁的超曲面上仍保持不变。
• 利用[LM17]中的结果分析边与顶点的奇点，表明在三维中锥角 < 2π 不影响Yamabe类型。
• 采用一参数变形族研究边界上接触角与平均曲率的演化。
• 利用形状算子与法向量场推导接触角与平均曲率的演化方程。
• 应用两子流形间夹角的一阶变分公式，将形变向量的法向导数与曲率项关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非负数量曲率的3-流形中，若其二面角逐点小于或等于欧几里得多面体的对应值，是否意味着该流形必为平坦？
• RQ2 二面角刚性猜想是否对一般多面体（如锥体与柱体）成立，而不仅限于立方体？
• RQ3 双倍构造产生的奇点如何影响所得流形的数量曲率与Yamabe类型？
• RQ4 对平均曲率与二面角的何种条件可迫使黎曼多面体同构于平坦模型？
• RQ5 数量曲率的比较原理能否超越具有等距边界嵌入的区域进行推广？

主要发现

• 对于包括锥体与柱体在内的大类三维多面体，若数量曲率非负且所有面均为平均凸，则其二面角不可能逐点小于或等于对应欧几里得模型的二面角。
• 唯一例外情况是当流形同构于平坦多面体时，此时二面角等式才被允许。
• 在面上进行的双倍构造在正则部分保持正数量曲率，并可应用关于具有正数量曲率奇异度量的已知结果。
• 边奇点处锥角小于2π不影响三维中的Yamabe类型，如[LM17]所示。
• 边界上接触角的演化由一个精确的微分方程控制，该方程涉及形变向量的法向导数、形状算子与第二基本形式。