[论文解读] A Polynomial Quantum Algorithm for Approximating the Jones Polynomial

Dorit Aharonov, Vaughan F. R. Jones+1 more|ArXiv.org|Nov 9, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 20

一句话总结

该论文提出了一种显式的、多项式时间的量子算法，通过 braid 群的路径模型表示和 Temperly-Lieb 代数上马尔可夫迹的唯一性，对任意 n 根 braid 在任意本原 k 次单位根 e^{2πi/k} 处的琼斯多项式进行近似。该算法在逆多项式误差范围内实现加法近似，且为 BQP-完全，为一个不依赖于拓扑量子场论的组合问题提供了直接的量子加速。

ABSTRACT

The Jones polynomial, discovered in 1984, is an important knot invariant in topology. Among its many connections to various mathematical and physical areas, it is known (due to Witten) to be intimately connected to Topological Quantum Field Theory (TQFT). The works of Freedman, Kitaev, Larsen and Wang provide an efficient simulation of TQFT by a quantum computer, and vice versa. These results implicitly imply the existence of an efficient quantum algorithm that provides a certain additive approximation of the Jones polynomial at the fifth root of unity, e^{2πi/5}, and moreover, that this problem is BQP-complete. Unfortunately, this important algorithm was never explicitly formulated. Moreover, the results mentioned are heavily based on TQFT, which makes the algorithm essentially inaccessible to computer scientists. We provide an explicit and simple polynomial quantum algorithm to approximate the Jones polynomial of an n-strands braid with m crossings at any primitive root of unity e^{2πi/k}, where the running time of the algorithm is polynomial in m,n and k. Our algorithm is based, rather than on TQFT, on well known mathematical results. By the results of Freedman et. al., our algorithm solves a BQP complete problem. The algorithm we provide exhibits a structure which we hope is generalizable to other quantum algorithmic problems. Candidates of particular interest are the approximations of other #P-hard problems, most notably, the partition function of the Potts model, a model which is known to be tightly connected to the Jones polynomial.

研究动机与目标

• 为近似琼斯多项式提供一种显式且易于理解的量子算法，该问题此前仅由基于 TQFT 的结果隐含暗示，但从未被明确表述。
• 将近似范围从第五个单位根（e^{2πi/5}）扩展到任意本原 k 次单位根 e^{2πi/k}，且运行时间在 m、n 和 k 上为多项式时间。
• 基于代数结构——特别是路径模型表示和马尔可夫迹——而非拓扑量子场论（TQFT）的复杂形式体系来构建算法。
• 证明该算法解决了 BQP-完全问题，从而体现量子计算的全部计算能力。
• 为将该方法推广到其他 #P-难问题（如 Potts 模型的配分函数）奠定基础，通过在酉门中类似地编码结构。

提出的方法

• 该算法使用 braid 群的路径模型表示，将 braid 映射为作用在 Temperly-Lieb 代数中路径的希尔伯特空间上的酉矩阵。
• 通过路径模型导出的酉算符编码 braid 的作用，确保矩阵乘积的迹通过马尔可夫迹对应于琼斯多项式。
• 利用 Hadamard 测试估计 braid 算符在特定态上的迹的实部和虚部，从而近似琼斯多项式。
• 该算法从加权路径空间中采样随机路径，并通过量子振幅估计算法计算期望值，利用 Chernoff-Hoeffding 不等式保证置信度。
• 对于平台闭合（plat closure），该算法使用 capcups 将 braid 映射为辫子，并通过投影到基态 |α⟩ 将迹与平台闭合多项式关联。
• 马尔可夫迹的唯一性确保了路径模型中 braid 算符的迹等于标准琼斯多项式评估值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种显式的量子算法，在不依赖 TQFT 的前提下，对任意单位根处的琼斯多项式进行近似？
• RQ2 braid 群的路径模型表示是否能为琼斯多项式提供一种直接且高效的量子算法？
• RQ3 该算法能否对所有 k 次单位根实现逆多项式误差范围内的加法近似，且运行时间在 m、n 和 k 上为多项式？
• RQ4 在 e^{2πi/k} 处近似琼斯多项式的问题是否为 BQP-完全？能否通过显式量子算法证明这一点？
• RQ5 该方法能否通过在量子线路中类似地编码结构，推广到其他 #P-难问题（如 Potts 模型的配分函数）？

主要发现

• 该算法对任意 n 根 braid 与 m 个交叉点在 e^{2πi/k} 处的琼斯多项式提供了多项式时间的量子近似，运行时间在 m、n 和 k 上为多项式。
• 该算法以指数高置信度实现加法近似误差 ε = 1/poly(n, m, k)，利用 i.i.d. 样本上的 Chernoff-Hoeffding 不等式。
• 该算法的正确性通过马尔可夫迹的唯一性与路径模型表示建立，确保 Tr_n(φ(B)) = tr(ρ_A(B))。
• 该算法为 BQP-完全，因其解决了能体现量子计算全部能力的问题，确认其在量子复杂性中的基础作用。
• 该方法避免依赖 TQFT，使其对计算机科学家更易理解，并可推广到涉及向下自归约的 #P-难函数的其他问题。
• 由于琼斯多项式与统计力学中配分函数之间的紧密联系，该方法可扩展至其他问题，如 Potts 模型。