[论文解读] A Polynomial Time Algorithm for The Traveling Salesman Problem

S. A. Gubin|ArXiv.org|Oct 9, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法来解决有向旅行商问题（ATSP），通过使用非对称的、大小为多项式的线性规划来表达ATSP多面体。利用编码顶点重标记约束的相容性矩阵，该方法将有向哈密顿圈（DHC）问题转化为一个可在多项式时间内求解的线性方程与不等式组，从而若该方法正确，则意味着P = NP。

ABSTRACT

The ATSP polytope can be expressed by asymmetric polynomial size linear program.

研究动机与目标

• 解决有向TSP多面体是否能通过大小为多项式的线性规划表达的开放问题。
• 通过线性规划提供有向哈密顿圈（DHC）问题的多项式时间解法。
• 证明ATSP可被约化为大小为O(n^4)的线性规划，且可在多项式时间内求解。
• 证明线性系统的解空间恰好对应于有向图中的哈密顿圈。
• 证明该方法在Yannakakis意义下具有非对称性，从而绕过其对称性障碍。

提出的方法

• 将DHC问题表示为一组二次不等式：$ A_G \geq X S X^T $，其中$ X $为置换矩阵，$ S $为循环置换矩阵。
• 引入一个相容性矩阵$ C = (C_{ij})_{n \times n} $，其中每个块$ C_{ij} $编码顶点对$ (\mu, \nu) $是否可根据邻接关系被重标记为$ (i, j) $。
• 将DHC的判定与搜索问题编码为一组线性方程与不等式：(1.8)与(1.9)，其中(1.9)强制不兼容条目取零值。
• 利用相容性矩阵将DHC问题嵌入到$ \mathbb{R}^{n^4} $中的一个凸多面体中，其顶点对应于哈密顿圈。
• 应用标准的多项式时间线性规划算法（如Khachiyan的椭球法或Karmarkar的内点法）求解该系统。
• 通过在由(1.8)和(1.9)定义的可行集上最小化加权和$ \sum w_{ij} x_{ij\mu\nu} $，将该方法扩展至ATSP。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管Yannakakis关于对称表述的结果存在，有向TSP多面体是否仍能通过非对称的多项式大小线性规划表达？
• RQ2 有向哈密顿圈（DHC）问题是否可通过线性规划形式在多项式时间内求解？
• RQ3 相容性矩阵编码是否能捕捉所有有效的顶点重标记，使得哈密顿圈恰好对应于可行解？
• RQ4 即使权重为任意实数，该线性系统是否仍能实现ATSP的多项式时间求解？
• RQ5 该方法是否可推广至带环的（多重）有向图中的子图同构问题？

主要发现

• 本文构建了一个大小为$ O(n^4) $的线性规划，通过非对称表述表达了ATSP多面体。
• 线性系统(1.8)与(1.9)的可行集恰好是所有哈密顿圈关联向量的凸包。
• 由(1.8)与(1.9)定义的多面体的顶点数除以$ n $，等于有向图中不同哈密顿圈的数量。
• 由于其0-1系数结构，该系统可使用已知的LP算法在强多项式时间内求解。
• 加权有向图中哈密顿圈的最小总权重即为线性规划(2.1)的最优值。
• 该方法可经少量修改推广至带环的（多重）有向图中的子图同构问题。