[论文解读] A Polynomial Time Algorithm to Compute Geodesics in CAT(0) Cubical Complexes

Koyo Hayashi|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 21被引用 1

一句话总结

本文提出了首个在一般维度的CAT(0)立方复形中计算测地线的多项式时间算法。它使用基于Miller、Owen和Provan算法的迭代断点更新方法作为子程序，在|P|和log(1/ϵ)的多项式时间内实现(1+ϵ)-近似测地线，其中P是复形的不一致对表示的偏序集。

ABSTRACT

This paper presents the first polynomial time algorithm to compute geodesics in a CAT(0) cubical complex in general dimension. The algorithm is a simple iterative method to update breakpoints of a path joining two points using Miller, Owen and Provan's algorithm (2015) as a subroutine. Our algorithm is applicable to any CAT(0) space in which geodesics between two close points can be computed, not limited to CAT(0) cubical complexes.

研究动机与目标

• 解决关于一般CAT(0)立方复形中测地线是否可多项式时间计算的开放问题。
• 开发一种实用且高效的算法，适用于树空间或二维复形等特定子类之外的场景。
• 为任意CAT(0)立方复形中的测地线提供多项式时间近似方案（EPTAS）。
• 建立一个通用框架，适用于任意CAT(0)空间，只要其中靠近的点之间的测地线可计算。

提出的方法

• 通过带有不一致对（PIP）的偏序集P表示CAT(0)立方复形K，实现其在[0,1]^|P|中的几何嵌入。
• 初始化一条具有n个断点的多边形路径，连接源点和目标点。
• 通过将断点迭代更新为包含当前路径段的最小胞腔上的正交投影，逐步优化路径。
• 作为子程序，应用Miller、Owen和Provan的算法，以计算截断CAT(0)正卦限空间（顶点的星形）中的测地线。
• 利用星形的凸性与正交投影，确保每一步均收敛到更短的路径。
• 通过坐标位复杂度界定迭代次数与精度，确保在|P|和log(1/ϵ)中为多项式时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意CAT(0)立方复形中的测地线是否可多项式时间计算？
• RQ2 是否存在一种通用的算法框架，避免依赖半定规划或二阶锥规划？
• RQ3 当不存在闭式解时，近似CAT(0)立方复形中测地线的计算复杂度是多少？
• RQ4 如何利用PIP的结构设计高效、迭代式的测地线计算算法？
• RQ5 该算法能否推广到其他具有类似局部凸性与投影性质的CAT(0)空间？

主要发现

• 所提出的算法在|P|和log(1/ϵ)的多项式时间内，计算出长度至多为d(p, q) + ϵ的路径，解决了在一般CAT(0)立方复形中多项式时间测地线计算的开放问题。
• 该算法简洁明了，避免了半定规划或二阶锥规划等复杂优化技术，转而依赖迭代更新与正交投影。
• 其正确性依赖于顶点星形的凸性，以及点在胞腔上的正交投影与其在1-骨架图中的门（gate）一致的事实。
• 该算法确保当两点间距离小于1时，其最小胞腔必然相交，这对收敛性与正确性至关重要。
• 在δ-中点计算中，坐标的位复杂度被限制在O(log(m/δ))，支持高效的数值近似。
• 该方法可推广至任意CAT(0)空间，只要其中靠近的点之间的测地线可计算，因此具有广泛的应用潜力，不仅限于立方复形。