[论文解读] A polynomial-time approximation algorithm for the number of k-matchings in bipartite graphs

Shmuel Friedland, Daniel Levy|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2006

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文通过将问题约化为计算更大二分图的永久值，提出了一种在二分图中计数k匹配的多项式时间近似算法，利用一种新颖的变换将k匹配与完美匹配关联起来。关键结果是，利用已知的非负矩阵永久值的fpras，可以在完全多项式时间内近似计算二分图中k匹配的数量。

ABSTRACT

We show that the number of $k$-matching in a given undirected graph $G$ is equal to the number of perfect matching of the corresponding graph $G_k$ on an even number of vertices divided by a suitable factor. If $G$ is bipartite then one can construct a bipartite $G_k$. For bipartite graphs this result implies that the number of $k$-matching has a polynomial-time approximation algorithm. The above results are extended to permanents and hafnians of corresponding matrices.

研究动机与目标

• 建立计数二分图中k匹配的完全多项式时间随机近似方案（fpras）的存在性。
• 将非负矩阵永久值的fpras扩展至k匹配和子永久值的计算。
• 证明在一般图中计数k匹配的复杂度与通过hafnian计算完美匹配的复杂度等价。
• 为统计力学模型中匹配多项式与压强函数的近似提供理论基础。
• 通过矩阵变换阐明永久值、hafnian与k匹配之间的结构关系。

提出的方法

• 构造一个包含 $2n - 2k$ 个顶点的变换后二分图 $G_k$，使得 $G_k$ 中完美匹配的数量与原图 $G$ 中k匹配的数量成比例。
• 利用恒等式 $\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits_k B = \frac{\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits B_k}{(m-k)!(n-k)!}$ 将k匹配与更大矩阵 $B_k$ 的永久值关联起来。
• 应用非负矩阵永久值的fpras（由Jerrum、Sinclair和Vigoda提出）以高效近似 $\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits_k B$。
• 对于一般图，定义矩阵 $A_k$，使得 $\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits_k A = \frac{\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits A_k}{(m-2k)!}$，将k匹配与大矩阵的hafnian关联起来。
• 利用对称半正定矩阵的结构与分块矩阵构造，保持权重与匹配的对应关系。
• 借助关于双曲多项式与矩阵永久值的已知结果，证明该约化的理论有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式时间内近似计数二分图中的k匹配？
• RQ2 在扩展图构造中，k匹配与完美匹配之间存在何种关系？
• RQ3 永久值的fpras存在性是否意味着二分图中k匹配的fpras也存在？
• RQ4 hafnian与永久值如何关联至一般图中k匹配的计算？
• RQ5 在任意图中计数k匹配的复杂度是否与计算完美匹配的复杂度等价？

主要发现

• 二分图 $G$ 中k匹配的数量等于 $\frac{\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits B_k}{(m-k)!(n-k)!}$，其中 $B_k$ 是由 $G$ 的关联矩阵构造的矩阵。
• 该变换使得可利用非负矩阵永久值的fpras，在多项式时间内高效近似k匹配的数量。
• 对于一般图，$\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits_k A = \frac{\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits A_k}{(m-2k)!}$，表明计算k匹配的难度与通过hafnian计算完美匹配的难度相当。
• 因此，鉴于永久值的fpras存在，二分图中k匹配的fpras也得以确立。
• 该方法可扩展至加权图，并为二分图的生成匹配多项式提供可计算的近似。
• 该结果意味着，基于无限晶格的统计力学模型中的压强函数，可通过此框架实现近似。