[论文解读] A Polynomial Time Bounded-error Quantum Algorithm for Boolean Satisfiability

Ahmed Younes, Jonathan E. Rowe|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种在BQP中求解MAX-E3-SAT问题的多项式时间有界误差量子算法，这是一个基本的NP难问题。该算法利用迭代部分否定和部分测量技术，放大使满足子句数最多的变量赋值的振幅。对于m个子句，该算法在$O(m^2)$时间内实现任意高的成功概率$1 - \epsilon$；在n个变量的最坏情况下，运行时间为$O(n^6)$，从而在非相对化设置下证明了NP包含于BQP。

ABSTRACT

The aim of the paper is to answer a long-standing open problem on the relationship between NP and BQP. The paper shows that BQP contains NP by proposing a BQP quantum algorithm for the MAX-E3-SAT problem which is a fundamental NP-hard problem. Given an E3-CNF Boolean formula, the aim of the MAX-E3-SAT problem is to find the variable assignment that maximizes the number of satisfied clauses. The proposed algorithm runs in $O(m^2)$ for an E3-CNF Boolean formula with $m$ clauses and in the worst case runs in $O(n^6)$ for an E3-CNF Boolean formula with $n$ inputs. The proposed algorithm maximizes the set of satisfied clauses using a novel iterative partial negation and partial measurement technique. The algorithm is shown to achieve an arbitrary high probability of success of $1-ε$ for small $ε>0$ using a polynomial resources. In addition to solving the MAX-E3-SAT problem, the proposed algorithm can also be used to decide if an E3-CNF Boolean formula is satisfiable or not, which is an NP-complete problem, based on the maximum number of satisfied clauses.

研究动机与目标

• 解决NP是否包含于BQP这一长期悬而未决的开放问题。
• 提供一种具体的量子算法，以有界误差和多项式资源求解MAX-E3-SAT问题。
• 证明NP完全问题（如E3-SAT）可利用量子计算以高概率求解。
• 通过在振幅放大中使用部分测量而非标准幺正迭代，克服先前量子方法的局限性。

提出的方法

• 该算法使用n量子比特上的Hadamard门制备所有$2^n$个变量赋值的叠加态。
• 将每个E3-CNF子句编码为一个GT4量子门，将变量赋值与表示子句满足性的真值向量纠缠。
• 提出一种新颖的振幅放大技术，基于已满足的子句数量，对辅助量子比特进行迭代部分否定，从而增强更优解的振幅。
• 使用部分测量将态坍缩至最优解方向，重复该过程以放大成功概率。
• 添加虚拟子句以提高真值向量中1的密度，从而提升首次测量最优态的成功概率。
• 该算法在m个子句时运行时间为$O(m^2)$，在最坏情况下为$O(n^6)$，对任意$\epsilon > 0$实现成功概率$1 - \epsilon$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种量子算法，能在多项式时间内以有界误差求解MAX-E3-SAT，从而将NP置于BQP中？
• RQ2 在振幅放大中使用部分测量是否能比标准幺正振幅放大提供更高效的解决方案？
• RQ3 该算法是否能仅使用多项式资源实现任意高的成功概率$1 - \epsilon$？
• RQ4 是否可以使用带有部分测量的量子振幅放大技术，以最大化E3-CNF公式中被满足的子句数量？
• RQ5 该方法是否可扩展至通过检查输出态中是否所有$m$个子句均被满足，来判断E3-CNF公式的可满足性？

主要发现

• 所提出的量子算法在m个子句时运行时间为$O(m^2)$，在n个变量的最坏情况下为$O(n^6)$。
• 该算法使用多项式数量的量子比特和操作，实现至少$1 - \epsilon$的成功概率，其中$\epsilon > 0$任意小。
• 使用虚拟子句可提高真值向量中1的密度，当$Pr_{\max} = 0.99$时，首次迭代的成功概率可超过99%。
• 该算法可通过检查输出态中所有$m$个子句是否均被满足，来判断E3-CNF公式的可满足性。
• 该方法可推广至E$k$-CNF公式，需$O(n^{2k})$轮迭代，表明其在3-CNF之外也具备可扩展性。
• 该结果意味着在非相对化世界中NP包含于BQP，挑战了BQP不包含NP的普遍信念。