[论文解读] A polynomial-time construction of a hitting set for read-once branching programs of width 3

Jiřı́ Šı́ma, Stanislav Žák|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 8

一句话总结

本文首次提出了宽度为3的读一次分支程序的显式多项式时间命中集构造方法，实现了超过5/6的接受概率。文章引入了一个‘丰富性条件’，用于刻画此类程序的命中集，并证明任何几乎O(log n)-wise独立集（通过Alon等人方法构造）均满足该条件，从而构成有效的命中集。

ABSTRACT

Recently, an interest in constructing pseudorandom or hitting set generators for restricted branching programs has increased, which is motivated by the fundamental issue of derandomizing space-bounded computations. Such constructions have been known only in the case of width 2 and in very restricted cases of bounded width. In this paper, we characterize the hitting sets for read-once branching programs of width 3 by a so-called richness condition. Namely, we show that such sets hit the class of read-once conjunctions of DNF and CNF (i.e. the weak richness). Moreover, we prove that any rich set extended with all strings within Hamming distance of 3 is a hitting set for read-once branching programs of width 3. Then, we show that any almost $O(\log n)$-wise independent set satisfies the richness condition. By using such a set due to Alon et al. (1992) our result provides an explicit polynomial-time construction of a hitting set for read-once branching programs of width 3 with acceptance probability $\varepsilon>5/6$. We announced this result at conferences more than ten years ago, including only proof sketches, which motivated a number of subsequent results on pseudorandom generators for restricted read-once branching programs. This paper contains our original detailed proof that has not been published yet.

研究动机与目标

• 为宽度为3的读一次分支程序构造一个显式且多项式时间可计算的命中集。
• 解决在宽度2以上空间有界的计算中实现去随机化的长期挑战。
• 将已知的伪随机生成器与命中集结果扩展至先前技术失效的有界宽度模型。
• 形式化一个组合丰富性条件，该条件独立于分支程序结构来刻画命中集。
• 证明几乎O(log n)-wise独立集满足该丰富性条件，并由此生成有效的命中集。

提出的方法

• 引入一个‘弱丰富性’条件，用于刻画读一次DNF与CNF公式合取的命中集。
• 证明任何满足丰富性条件的集合，若扩展为所有汉明距离不超过3的字符串，则构成宽度为3的1-分支程序的命中集。
• 证明几乎(C log n)-wise独立集（通过Alon等人(1992)的方法构造）对某个合适的常数C满足丰富性条件。
• 利用概率方法与泰勒级数近似（通过双曲正弦不等式）建立此类集合存在概率的正下界。
• 利用此类几乎k-wise独立集可在多项式时间内构造的事实，确保整体构造的高效性。
• 应用集中不等式与多项式展开，控制丰富性条件分析中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为宽度为3的读一次分支程序设计出多项式时间可构造的命中集？
• RQ2 何种组合条件可独立于其结构刻画宽度为3的1-分支程序的命中集？
• RQ3 几乎O(log n)-wise独立集是否满足该条件，从而生成有效的命中集？
• RQ4 丰富性条件能否用于弥合有界宽度模型中伪随机生成器与命中集之间的差距？
• RQ5 该方法能否推广至宽度4或一般有界宽度？

主要发现

• 成功构造出宽度为3的读一次分支程序的多项式时间可计算命中集，其接受概率ε > 5/6。
• 通过命中读一次DNF与CNF合取定义的丰富性条件，刻画了宽度为3的1-分支程序的有效命中集。
• 任何满足丰富性条件的集合，若扩展为所有汉明距离不超过3的字符串，则成为宽度为3的1-分支程序的命中集。
• Alon等人(1992)构造的几乎O(log n)-wise独立集满足丰富性条件，因此可生成显式命中集。
• 分析证明了此类集合存在的概率存在正下界，确保其构造非空。
• 该结果在去随机化BPL及改进有界宽度模型的伪随机生成器方面迈出了重要一步。