[论文解读] A polynomial-time iterative algorithm for random graph matching with non-vanishing correlation

Jian Ding, Zhangsong Li|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2023

Random Matrices and Applications被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种多项式时间的迭代算法，用于匹配两个具有非消失边相关性的埃拉多斯-雷尼随机图，即使在边密度以 $ n^{-\alpha+o(1)} $ 的方式多项式衰减（$ \alpha \in [0,1) $）时也适用。该算法以高概率成功恢复潜在的顶点对应关系，这是在所有边密度范围内首次实现非消失相关性下的此类结果，包括低于奥特常数平方根（~0.338）的情况。

ABSTRACT

We propose an efficient algorithm for matching two correlated Erdős--Rényi graphs with $n$ vertices whose edges are correlated through a latent vertex correspondence. When the edge density $q= n^{- α+o(1)}$ for a constant $α\in [0,1)$, we show that our algorithm has polynomial running time and succeeds to recover the latent matching as long as the edge correlation is non-vanishing. This is closely related to our previous work on a polynomial-time algorithm that matches two Gaussian Wigner matrices with non-vanishing correlation, and provides the first polynomial-time random graph matching algorithm (regardless of the regime of $q$) when the edge correlation is below the square root of the Otter's constant (which is $\approx 0.338$).

研究动机与目标

• 通过开发一种在非消失相关性下均有效的高效算法，填补随机图匹配中的计算空白，无论边密度处于何种范围。
• 克服先前算法的局限性，这些算法要求相关性高于奥特常数的平方根（~0.338）才能实现多项式时间成功。
• 将迭代匹配算法的适用范围从高斯威格纳矩阵扩展至具有相关边的稀疏随机图。
• 证明迭代算法框架在不同图稀疏度和相关性水平下的鲁棒性，暗示其在算法设计中的普遍性。
• 为随机图匹配中的算法普遍性提供理论基础，激励未来在随机块图或几何图等结构化模型上的研究。

提出的方法

• 提出一种受先前关于相关高斯威格纳矩阵工作的启发的迭代算法，将其适配于稀疏埃拉多斯-雷尼图。
• 使用倾斜测度和高斯近似来分析匹配过程中边相关性信号的行为。
• 定义关键事件如 $ \mathcal{E}_\diamond $、$ \mathcal{B}_{t^*} $ 和 $ \mathtt{U} $，以控制误差传播和顶点错位。
• 采用收尾步骤，对链式匹配结构中的未匹配顶点进行处理，确保以高概率恢复匹配。
• 应用并集界和集中不等式，通过 $ \Delta \ll \varepsilon $ 和 $ \Delta \leq e^{-(\log\log n)^8} $ 控制大组失败匹配的概率。
• 使用类似谱的分量 $ g_{t^* - 1}Y(k,v) $ 和 $ \check{Y}(k,v) $ 建模局部邻域相关性，并推导信号强度的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边相关性非消失时，即使在低边密度下，多项式时间算法能否在相关埃拉多斯-雷尼图中恢复潜在的顶点对应关系？
• RQ2 来自高斯矩阵匹配的迭代算法框架是否可扩展至具有相关边的稀疏随机图？
• RQ3 现有多项式时间算法失效的最小相关性阈值是多少？本工作能否突破这一障碍？
• RQ4 当边密度以 $ n^{-\alpha+o(1)} $ 的方式衰减且 $ \alpha < 1 $ 时，该算法如何维持高成功概率？
• RQ5 该迭代匹配算法在稀疏性和弱相关性下有多强的鲁棒性？这在多大程度上暗示其在各类随机图模型中的普遍性？

主要发现

• 该算法的时间复杂度为 $ O(n^C) $，其中常数 $ C = C(\alpha, \rho) $，且与边密度衰减率无关，只要 $ \alpha < 1 $。
• 当边相关性 $ \rho \in (0,1] $ 非消失时，该算法以概率 $ 1 - o(1) $ 成功恢复潜在匹配 $ \pi $。
• 随着 $ \rho \to 0 $，运行时间指数 $ C $ 趋向无穷大，表明在当前框架下这可能是最优的依赖关系。
• 该算法可处理低至 $ q = n^{-\alpha+o(1)} $ 的边密度，其中 $ \alpha \in [0,1) $，包括平均度缓慢增长的稀疏区域。
• 证明表明失败匹配的数量被限制在 $ O(n / \log n) $ 以内，收尾步骤可恢复大小至少为 $ m/4 - n/(\log n)^2 $ 的匹配，该值为次线性。
• 该方法依赖于高概率事件中的高斯近似，误差项通过 $ \Delta^{10} $ 和 $ \exp\{-(\log n)^{1.8}\} $ 尾部界控制。