[论文解读] A Polynomial Time Version of LLL With Deep Insertions

Felix Fontein, Michael Schneider+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Cryptography and Data Security参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出 PotLLL，这是首个可证明为多项式时间的 DeepLLL 格约化算法变体，具有深度插入功能。通过引入基于势能的插入策略，确保在多项式时间内终止，PotLLL 在输出质量上显著优于经典 LLL 算法，同时保持了具有竞争力的运行时间，在未经预处理的基上优于 BKZ-5，在实际应用中与 β=5 的 DeepLLL 表现相当。

ABSTRACT

Lattice reduction algorithms have numerous applications in number theory, algebra, as well as in cryptanalysis. The most famous algorithm for lattice reduction is the LLL algorithm. In polynomial time it computes a reduced basis with provable output quality. One early improvement of the LLL algorithm was LLL with deep insertions (DeepLLL). The output of this version of LLL has higher quality in practice but the running time seems to explode. Weaker variants of DeepLLL, where the insertions are restricted to blocks, behave nicely in practice concerning the running time. However no proof of polynomial running time is known. In this paper a new variant of DeepLLL with provably polynomial running time is presented. We compare the practical behavior of the new algorithm to classical LLL, BKZ as well as blockwise variants of DeepLLL regarding both the output quality and running time.

研究动机与目标

• 开发一种可证明为多项式时间的 DeepLLL 变体，以解决传统 DeepLLL 算法运行时间不可预测且可能呈指数增长的问题。
• 通过在实际中实现更优的 Hermite 因子输出质量，改进经典 LLL 和分块 DeepLLL 变体。
• 为 DeepLLL 提供一个理论基础坚实的替代方案，在不牺牲运行效率的前提下保持高约化质量。
• 通过实验验证 PotLLL 在不同格维度和预处理级别下相对于 BKZ 和 DeepLLL 变体的性能表现。
• 探索将深度插入与 BKZ 结合使用，通过势能最小化实现，预示着进一步的性能提升。

提出的方法

• 引入一个势能函数以指导深度插入，确保每次插入均降低势能，从而保证在多项式时间内终止。
• 采用基于势能函数的改进插入准则，而非直接比较 Gram-Schmidt 系数，从而实现更广泛且更有效的插入。
• 在插入过程中采用分块结构，将插入限制在大小为 β 的块内，以在质量与效率之间取得平衡。
• 实现一种新型约化算法 PotLLL，结合深度插入逻辑与通过势能下降实现的终止保证。
• 采用新型实现方式以支持独立基准测试，确保在不同格类型与维度下与 BKZ 和 DeepLLL 的公平比较。
• 将势能最小化集成到 BKZ 中作为扩展，允许更深层次的插入，同时保持多项式时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种 DeepLLL 变体，使其具有可证明的多项式运行时间，同时保持高输出质量？
• RQ2 PotLLL 在不同格维度和预处理级别下的 Hermite 因子与经典 LLL、BKZ 和 DeepLLL 相比如何？
• RQ3 在未经预处理的（Hermite 标准型）基上，PotLLL 是否在 Hermite 因子和运行时间两方面均优于 BKZ-5？
• RQ4 PotLLL 与 β=5 和 β=10 的 DeepLLL 相比，特别是在预处理后的基上，性能表现如何？
• RQ5 势能最小化能否有效与 BKZ 结合，以在保持多项式时间复杂度的同时提升约化质量？

主要发现

• 对于维度 $n \leq 300$ 的格，PotLLL 的平均 $n$ 次根 Hermite 因子不超过 $1.0153^n$，显著优于经典 LLL。
• 在未经预处理的 Hermite 标准型基上，PotLLL 在 Hermite 因子和运行时间两方面均优于 BKZ-5，尤其在维度达到 160 之前表现更优。
• 对于预处理后的基（例如，经过 0.75-LLL 处理后），PotLLL 稍慢于 BKZ-10，但仍具竞争力，尽管生成的向量略长。
• 在未经预处理的基上，β=5 的 DeepLLL 在 Hermite 因子和运行时间两方面均优于 BKZ-10，表明其在此设置下的优越性。
• 使用势能最小化的 BKZ-5 产生的输出质量接近于经典 DeepLLL（β=5），而 BKZ-10 搭配此类插入策略则接近于 DeepLLL（β=10）。
• 在维度 ≥180 时，BKZ-10 的运行速度超过 β=5 的 DeepLLL，但 PotLLL 保持了强劲性能，并在所有测试维度中均表现具有竞争力。