[论文解读] A positive mass theorem in three dimensional Cauchy-Riemann geometry

Jih-Hsin Cheng, Andrea Malchiodi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Geometry and complex manifolds被引用 4

一句话总结

本文引入了渐近平坦伪Hermitian 3-流形中的p-质量不变量，其类似于Riemann几何中的ADM质量，并在Tanaka-Webster曲率正且CR Paneitz算子非负的条件下证明了其正性。关键结果表明p-质量非负，且零质量情形对应于标准CR 3-球面，并将此结果应用于求解能量最小化的CR Yamabe问题。

ABSTRACT

We define an ADM-like mass, called p-mass, for an asymptotically flat pseudohermitian manifold. The p-mass for the blow-up of a compact pseudohermitian manifold (with no boundary) is identified with the first nontrivial coefficient in the expansion of the Green function for the CR Laplacian. We deduce an integral formula for the p-mass, and we reduce its positivity to a solution of Kohn's equation. We prove that the p-mass is non-negative for (blow-ups of) compact 3-manifolds of positive Tanaka-Webster class and with non-negative CR Paneitz operator. Under these assumptions, we also characterize the zero mass case as the standard three dimensional CR sphere. We then show the existence of (non-embeddable) CR 3-manifolds having nonpositive Paneitz operator or negative p-mass through a second variation formula. Finally, we apply our main result to find solutions of the CR Yamabe problem with minimal energy.

研究动机与目标

• 在渐近平坦伪Hermitian 3-流形中定义类似于ADM质量的p-质量不变量。
• 在Tanaka-Webster类为正且CR Paneitz算子非负的假设下，建立p-质量的非负性。
• 将零p-质量情形表征为标准三维CR球面。
• 通过第二 variation 公式，构造出具有非正 Paneitz 算子或负p-质量的不可嵌入CR 3-流形。
• 将正p-质量定理应用于求解能量最小化的CR Yamabe问题。

提出的方法

• 将p-质量定义为紧致伪Hermitian 3-流形在爆破（blow-up）上CR拉普拉斯算子的Green函数展开中的第一个非平凡系数。
• 利用CR爱因斯坦张量的散度结构与Kohn-Knapp-Weiss公式，推导出p-质量的积分公式。
• 将p-质量的正性归约为在流形上求解某一(1,1)-形式的Kohn方程。
• 利用共形次拉普拉斯算子的共形协变性，将p-质量与Tanaka-Webster曲率及CR Paneitz算子联系起来。
• 应用第二 variation 公式，构造出具有非正Paneitz算子或负p-质量的不可嵌入CR 3-流形的例子。
• 利用CR标准坐标与渐近展开，分析无穷远处接触形式与联络形式的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在三维Cauchy-Riemann几何中定义类似于ADM质量的质量概念？
• RQ2 在何种几何条件下，渐近平坦伪Hermitian 3-流形中的p-质量为非负？
• RQ3 从CR几何的角度看，零p-质量情形由什么特征刻画？
• RQ4 能否构造出具有负p-质量或非正Paneitz算子的不可嵌入CR 3-流形？
• RQ5 如何将正p-质量定理应用于求解能量最小化的CR Yamabe问题？

主要发现

• 对于具有正Tanaka-Webster类且CR Paneitz算子非负的紧致三维伪Hermitian流形的爆破，p-质量是非负的。
• 当且仅当流形CR等价于标准三维CR球面时，p-质量为零。
• 通过第二 variation 公式，证明了存在具有非正Paneitz算子或负p-质量的不可嵌入CR 3-流形。
• p-质量被识别为紧致伪Hermitian流形在爆破上CR拉普拉斯算子的Green函数展开中的第一个非平凡系数。
• p-质量的积分公式由CR爱因斯坦张量的散度结构与Kohn-Knapp-Weiss公式推导得出。
• 正p-质量定理使得通过确保Yamabe商有下界（下界为标准球面），从而构造出能量最小化的CR Yamabe问题的解成为可能。