[论文解读] A positivity-preserving and convergent numerical scheme for the binary fluid-surfactant system

Yuzhe Qin, Cheng Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2021

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 61被引用 26

一句话总结

本文提出一个对于二元流体-表面活性剂相场模型的一阶时间P凸分裂方案，证明唯一性、正性保持、无条件能量稳定性及最优收敛阶，并对离散系统使用牛顿迭代并进行数值验证。

ABSTRACT

In this paper, we develop a first order (in time) numerical scheme for the binary fluid surfactant phase field model. The free energy contains a double-well potential, a nonlinear coupling entropy and a Flory-Huggins potential. The resulting coupled system consists of two Cahn-Hilliard type equations. This system is solved numerically by finite difference spatial approximation, in combination with convex splitting temporal discretization. We prove the proposed scheme is unique solvable, positivity-preserving and unconditionally energy stable. In addition, an optimal rate convergence analysis is provided for the proposed numerical scheme, which will be the first such result for the binary fluid-surfactant system. Newton iteration is used to solve the discrete system. Some numerical experiments are performed to validate the accuracy and energy stability of the proposed scheme.

研究动机与目标

• 使用二元流体-表面活性剂相场框架来驱动和建模带有表面活性剂的界面动力学。
• 开发一个数值方案，在离散层面保持密度的正性并确保能量稳定性。
• 证明该方案的唯一可解性并获得最优收敛阶。
• 实现基于牛顿迭代的全集离散系统求解器，并通过数值实验验证稳定性和准确性。

提出的方法

• 构造能量分割 G = G_c - G_e 以实现凸分裂时间离散化。
• 使用一阶时间半离散格式，对凸部采用隐式处理，对凹部采用显式处理。
• 采用中心差分空间离散，并定义与凸/凹部分对应的离散能量泛函 E_c 和 E_e。
• 推导 φ、ρ 及其化学势 μ_φ 与 μ_ρ 的离散方程，确保唯一可解性与能量稳定性。
• 通过利用 Flory-Huggins 势中的对数项的奇异性质来证明正性保持特性。
• 在每个时间步通过牛顿迭代求解得到的非线性系统，并进行数值实验以验证精度和稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于凸分裂的离散化是否能为二元流体-表面活性剂体系提供唯一可解性？
• RQ2 所提出的方案在离散层面是否能保持密度 ρ 的正性？
• RQ3 该方案是否对离散能量无条件稳定？
• RQ4 该方案在时间上的最优收敛率是多少，并在何种条件下实现？
• RQ5 数值实验是否证实理论上的正性、稳定性和收敛性？

主要发现

• 所提出的方案具有唯一可解性。
• 该方案保持密度变量 ρ 的正性。
• 该方案无条件能量稳定（对能量稳定没有时间步长限制）。
• 已为该方案建立了时间上的最优收敛率。
• 采用牛顿迭代求解离散非线性系统，数值实验验证精度和能量稳定性。