[论文解读] A posteriori error estimates for finite element approximations of the Cahn-Hilliard equation and the Hele-Shaw flow

Xiaobing Feng, Haijun Wu|ArXiv.org|Aug 15, 2007

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 40被引用 21

一句话总结

本文为Cahn-Hilliard方程及其尖锐界面极限——Hele-Shaw流的有限元逼近，发展了一类残差型后验误差估计。关键贡献在于提出了一种仅以低阶多项式形式依赖于$\varepsilon^{-1}$的鲁棒误差界，从而实现了能够有效解析扩散界面并达到最优收敛率的自适应有限元算法。

ABSTRACT

This paper develops a posteriori error estimates of residual type for conforming and mixed finite element approximations of the fourth order Cahn-Hilliard equation $u_t+\De\bigl(\eps \De u-\eps^{-1} f(u)\bigr)=0$. It is shown that the {\it a posteriori} error bounds depends on $\eps^{-1}$ only in some low polynomial order, instead of exponential order. Using these a posteriori error estimates, we construct an adaptive algorithm for computing the solution of the Cahn-Hilliard equation and its sharp interface limit, the Hele-Shaw flow. Numerical experiments are presented to show the robustness and effectiveness of the new error estimators and the proposed adaptive algorithm.

研究动机与目标

• 为Cahn-Hilliard方程的 conforming 与 mixed 有限元方法开发可靠的后验误差估计器。
• 建立仅以多项式形式依赖于$\varepsilon^{-1}$的误差界，避免指数依赖。
• 基于后验估计器，为Cahn-Hilliard方程及其Hele-Shaw极限构建自适应有限元算法。
• 通过数值实验验证误差估计器与自适应算法的鲁棒性与有效性。

提出的方法

• 推导Cahn-Hilliard方程 conforming 与 mixed 有限元逼近的残差型后验误差估计。
• 分析误差界对小参数$\varepsilon$的依赖关系，证明其在$\varepsilon^{-1}$上为多项式而非指数增长。
• 构建一种自适应算法，根据后验误差指标对单元进行局部加密，以精确解析扩散界面。
• 在误差估计与自适应过程中，将化学势$w^\varepsilon = -\varepsilon \Delta u^\varepsilon + \varepsilon^{-1}f(u^\varepsilon)$作为关键量。
• 通过$\varepsilon \to 0$时的渐近分析，将该方法应用于Cahn-Hilliard方程及其尖锐界面极限（Hele-Shaw流）。
• 在具有不同初始条件与$\varepsilon$值的基准问题上实现并验证自适应算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Cahn-Hilliard方程有限元解构造在$\varepsilon \to 0$时仍保持鲁棒的后验误差估计器？
• RQ2 误差界对$\varepsilon^{-1}$的依赖是指数形式还是仅多项式形式？
• RQ3 能否设计一种自适应有限元方法，以高效解析Cahn-Hilliard模型中的薄扩散界面？
• RQ4 该自适应方法在解的零水平集上达到何种收敛率？
• RQ5 与均匀加密相比，该自适应方法在自由度数量与精度方面表现如何？

主要发现

• 后验误差估计器对$\varepsilon^{-1}$仅表现出多项式依赖，避免了指数增长，确保了小$\varepsilon$下的鲁棒性。
• 自适应算法在显著减少自由度的前提下，成功解析了扩散界面。
• 在测试1中，零水平集的收敛率约为$O(1/\mathcal{N}^2)$，其中$\mathcal{N}$为自由度数量。
• 当$TOL=0.01$时，自适应方法在$t=0.01$时仅需$\mathcal{N}_{0.01} = 12,565$个自由度，而均匀加密则需约118万自由度。
• 在测试2中，自适应方法仅使用2,520个初始单元，最小面积为$1.2207 \times 10^{-4}$，而均匀加密需约32,768个单元。
• 在测试3中，自适应方法使用4,072个初始单元，最小面积为$3.0518 \times 10^{-5}$，而均匀加密需约131,072个单元。