[论文解读] A-posteriori error estimates for inverse problems

Vishwas Rao, Adrian Sandu|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2014

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于变分反问题的新型后验误差估计框架，特别适用于数据同化，利用一阶和二阶伴随模型来量化模型误差和数据误差对解的影响。该方法提供了对感兴趣量误差的精确一阶估计，在热方程和浅水方程的数值验证中表现出色，无论是在确定性还是概率性设置下，其结果均与基于集合的统计方法高度一致。

ABSTRACT

Inverse problems use physical measurements along with a computational model to estimate the parameters or state of a system of interest. Errors in measurements and uncertainties in the computational model lead to inaccurate estimates. This work develops a methodology to estimate the impact of different errors on the variational solutions of inverse problems. The focus is on time evolving systems described by ordinary differential equations, and on a particular class of inverse problems, namely, data assimilation. The computational algorithm uses first-order and second-order adjoint models. In a deterministic setting the methodology provides a posteriori error estimates for the inverse solution. In a probabilistic setting it provides an a posteriori quantification of uncertainty in the inverse solution, given the uncertainties in the model and data. Numerical experiments with the shallow water equations in spherical coordinates illustrate the use of the proposed error estimation machinery in both deterministic and probabilistic settings.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，用于量化模型误差和数据误差对变分反问题解的影响。
• 将后验误差估计方法——此前仅应用于PDE及其数值近似——扩展至涉及不完美模型和噪声观测的反问题。
• 为解对观测和模型参数不确定性敏感性的敏感性提供确定性和概率性误差估计。
• 通过在球面上的热方程和浅水模型上的数值实验，验证误差估计框架。
• 通过识别系统中敏感区域，实现自适应观测和建模等实际应用。

提出的方法

• 该方法采用超拉格朗日形式化，推导连续时间与离散时间模型下扰动反问题的最优性条件。
• 采用一阶和二阶伴随模型计算超拉格朗日乘子，这些乘子对误差估计至关重要。
• 利用切线线性模型和二阶伴随信息，对一个标量感兴趣量的误差进行一阶估计。
• 在数据同化中，该框架专门针对4D-Var形式化，推导出观测误差和模型误差的显式后验误差估计。
• 在概率性设置下，该方法提供误差影响均值和方差的估计，并与集合模拟结果进行验证。
• 该方法在1D热方程和球坐标系下的浅水模型上实现并进行了测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将后验误差估计扩展至量化模型误差和数据误差对变分反问题解的影响？
• RQ2 一阶和二阶伴随模型在估计解对观测和模型参数不确定性敏感性方面发挥什么作用？
• RQ3 所提出的方法在多大程度上能准确估计由于数据和模型不确定性导致的感兴趣量误差的均值和方差？
• RQ4 该误差估计框架是否可在确定性和概率性设置下通过基于集合的统计方法进行验证？
• RQ5 误差估计在何种方式下可指导实时系统中的自适应观测或建模策略？

主要发现

• 对于4D-Var解，数据误差对影响的均值，变分方法估计为0.00，基于集合的方法为0.105，显示出强烈的一致性。
• 数据误差影响的方差，变分方法估计为2.87，基于集合的方法为2.53，证实了在不确定性量化方面的高精度。
• 对于模型误差，变分方法的均值估计为1.21，接近于集合方法的均值1.17；方差估计为0.053，接近于集合值0.080。
• 该方法在确定性和概率性设置下均成功量化了误差影响，且在多个测试案例中结果一致。
• 该误差估计框架识别出了高敏感区域，表明其在自适应观测和建模中的应用潜力。
• 该方法具有通用性，适用于复杂系统如天气研究与预报（WRF）模型，具有实现实时不确定性降低的潜力。