[论文解读] A posteriori error estimates for mixed virtual element methods

Andrea Cangiani, Mauricio Munar|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文针对带混合边界条件的二阶椭圆方程，提出了一种基于残差的混合虚拟元方法（混合 VEM）后验误差估计器。该估计器完全可计算，适用于一般多边形网格，且能为 VEM 通量及后处理通量在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下提供可靠且高效的误差界，从而实现有效的自适应网格加密。

ABSTRACT

We present an a posteriori error analysis for the mixed virtual element method (mixed VEM) applied to second order elliptic equations in divergence form with mixed boundary conditions. The resulting error estimator is of residual-type. It only depends on quantities directly available from the VEM solution and applies on very general polygonal meshes. The proof of the upper bound relies on a global inf-sup condition, a suitable Helmholtz decomposition, and the local approximation properties of a Clément-type interpolant. In turn, standard inverse inequalities and localization techniques based on bubble functions are the main tools yielding the lower bound. Via the inclusion of a fully local postprocessing of the mixed VEM solution, we also show that the estimator provides a reliable and efficient control on the broken $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-norm error between the exact and the postprocessed flux. Numerical examples confirm the theoretical properties of our estimator, and show that it can be effectively used to drive an adaptive mesh refinement algorithm.

研究动机与目标

• 为带混合边界条件的二阶椭圆问题开发一种可靠且高效的混合虚拟元方法（混合 VEM）后验误差估计器。
• 建立精确解与混合 VEM 解之间在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下的误差上界与下界，包括后处理通量。
• 提供一种完全局部且可计算的误差估计器，仅依赖于 VEM 解中的量，适用于自适应网格加密。
• 证明后处理通量逼近在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下的最优收敛率，克服标准 VEM 通量中观察到的次优收敛现象。
• 通过数值实验验证理论结果，表明该估计器在驱动自适应加密方面的有效性。

提出的方法

• 该误差估计器为残差型，仅基于 VEM 解中的可计算量构造，确保完全局部可计算性。
• 利用全局 inf-sup 条件、误差的 HERSHEY 分解以及 Clement 型插值的逼近性质，推导上界。
• 通过逆不等式与基于泡函数的局部化技术，建立下界。
• 对 VEM 通量应用后处理技术，构造一种新的、可计算的逼近，其在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下达到最优收敛率。
• 该分析适用于一般多边形网格，包括带悬挂节点的网格，充分利用了 VEM 方法框架的灵活性。
• 基于该误差估计器提出一种自适应网格加密算法，并在奇异摄动问题上进行了数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为混合虚拟元方法构造一种完全可计算的后验误差估计器，使其既可靠又高效？
• RQ2 该误差估计器是否在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下与后处理通量的真实误差等价？
• RQ3 所提出的估计器能否在一般多边形网格上有效驱动自适应网格加密？
• RQ4 后处理通量的收敛行为如何？其在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下是否达到最优收敛率？
• RQ5 理论误差界在具有奇异性的问题（如 L 形区域）中的实际表现如何？

主要发现

• 后验误差估计器在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下提供了误差的上界与下界，误差范围包含虚拟不一致性项。
• 后处理通量在分段 $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-范数下实现了最优收敛率，而标准 VEM 通量仅达到次优收敛率。
• 估计器的效应性指标在整个自适应加密过程中保持接近于 1（例如 0.87–0.95），表明误差控制可靠。
• 数值实验表明，该估计器能有效驱动网格加密，特别是在 L 形区域的角点等奇异性附近。
• 采用 $k=2$（高阶 VEM）的自适应策略相比低阶情形表现出更温和的加密行为，验证了最优收敛特性。
• 即使在扭曲的多边形网格上，该估计器仍保持有效性，证实了其在实际自适应计算中的鲁棒性。