[论文解读] A posteriori estimates for Euler and Navier-Stokes equations

Carlo Morosi, M. Pernici+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文提出了一套针对环面上不可压缩欧拉方程与纳维-斯托克斯方程的严格后验误差估计框架，采用索伯列夫空间与符号计算。将该方法应用于三维Behr-Nečas-Wu初始数据下52阶泰勒多项式逼近的欧拉方程，建立了解存在时间的下界 $ T \geq 0.242 $，并提供了精确解与近似解之间 $ H^3 $-范数的精确误差估计。

ABSTRACT

The first two sections of this work review the framework of [6] for approximate solutions of the incompressible Euler or Navier-Stokes (NS) equations on a torus T^d, in a Sobolev setting. This approach starts from an approximate solution u_a of the Euler/NS Cauchy problem and, analyzing it a posteriori, produces estimates on the interval of existence of the exact solution u and on the distance between u and u_a. The next two sections present an application to the Euler Cauchy problem, where u_a is a Taylor polynomial in the time variable t; a special attention is devoted to the case d=3, with an initial datum for which Behr, Necas and Wu have conjectured a finite time blowup [1]. These sections combine the general approach of [6] with the computer algebra methods developed in [9]; choosing the Behr-Necas-Wu datum, and using for u_a a Taylor polynomial of order 52, a rigorous lower bound is derived on the interval of existence of the exact solution u, and an estimate is obtained for the H^3 Sobolev distance between u(t) and u_a(t).

研究动机与目标

• 开发一套严格后验框架，用于估计不可压缩欧拉方程与纳维-斯托克斯方程精确解的存在时间与误差距离。
• 将该框架应用于具有特定初始数据的欧拉柯西问题，该初始数据被推测会表现出有限时间爆破。
• 利用符号计算与泰勒多项式逼近，推导出解正则性与存在区间上可计算的严格界。
• 改进先前对三维Behr-Nečas-Wu初始数据下欧拉解存在时间的下界估计。
• 提供精确解与其中52阶泰勒多项式近似之间 $ H^3 $-范数的定量估计。

提出的方法

• 在环面 $ \mathbb{T}^d $ 上采用索伯列夫空间框架，重点关注 $ \mathbb{H}^n_{\Sigma 0} $ 中的散度为零、均值为零的向量场。
• 应用双线性映射 $ \mathscr{P}(v,w) = -\mathfrak{L}(v{\scriptstyle{\bullet}}\partial w) $，表示欧拉/NS方程中的非线性项。
• 使用卡托不等式 (1.5) 与基本不等式 (1.4)，其中 $ d=3 $ 时可计算常数 $ G_3 = 0.438 $，$ K_3 = 0.323 $。
• 构建控制柯西问题 (4.4)，针对控制函数 $ \mathscr{R}_3(t) $，求解涉及误差估计器 $ \mathcal{D}_3(t), \mathcal{D}_4(t) $ 与微分误差估计器 $ \epsilon_3(t) $ 的一维常微分方程。
• 利用计算机代数系统符号计算52阶泰勒多项式 $ u^{52}(t) $ 及其相关误差估计器。
• 数值求解控制常微分方程 (4.4)，以确定 $ \mathscr{R}_3(t) $ 的最大存在时间 $ T_{\tt{c}} $，该值界定了真实解存在区间的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在索伯列夫空间中为欧拉方程与纳维-斯托克斯方程构建严格后验误差估计框架？
• RQ2 对于具有Behr-Nečas-Wu初始数据的三维欧拉方程，其精确解在多长的时间区间内保持正则性？
• RQ3 52阶泰勒多项式在时间上对真实解的 $ H^3 $-范数逼近精度如何？
• RQ4 能否将符号计算与后验分析相结合，以产生解存在时间的精确、可计算下界？
• RQ5 当解接近潜在爆破时，近似解与精确解之间误差的定量行为如何？

主要发现

• 三维欧拉柯西问题中，Behr-Nečas-Wu初始数据的解 $ u $ 在区间 $ [0,T) $ 上存在，且 $ T \geq 0.242 $，显著优于先前的下界估计。
• 对于所有 $ t \in [0, 0.242) $，精确解 $ u(t) $ 与52阶泰勒多项式近似 $ u^{52}(t) $ 之间的 $ H^3 $-范数距离被 $ \mathscr{R}_3(t) $ 控制。
• 在 $ t \in [0, 0.20] $ 区间内，主控函数 $ \mathscr{R}_3(t) $ 保持极小（小于 $ 2 \times 10^{-6} $），表明在该区间的大部分时间内近似具有高精度。
• $ \mathscr{R}_3(t) $ 在 $ t \to 0.242^{-} $ 时迅速发散，证实 $ T_{\tt{c}} = 0.242 $ 是控制问题仍有效的最大时间。
• 对于 $ t \leq 0.10 $，微分误差估计器 $ \epsilon_3(t) $ 保持在 $ 10^{-20} $ 以下，表明在解的早期演化阶段近似解的残余误差可忽略不计。
• 对所有 $ k \in \mathbb{Z}^3 \setminus \{0\} $，不等式 $ |u_k(t) - u^{52}_k(t)| \leq \mathscr{R}_3(t)/|k|^3 $ 成立，提供了逐傅里叶模态的误差控制。