[论文解读] A posteriori subcell finite volume limiter for general PNPM schemes: applications from gasdynamics to relativistic magnetohydrodynamics

Gaburro, Elena, Elena Gaburro|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 131被引用 25

一句话总结

本文提出了一种新颖的后处理亚单元有限体积限制器，适用于一般 $P_NP_M$ 格式，能够在处理具有间断的双曲PDE时实现高阶精度与稳定性。该限制器仅在出现问题的单元中激活，采用 $2N+1$ 亚单元网格以实现高分辨率，并保持计算效率，成功将 $M>N>0$ 的 $P_NP_M$ 格式扩展至气体动力学、磁流体力学乃至相对论磁流体力学等复杂问题，实现最优性能。

ABSTRACT

In this work, we consider the general family of the so called ADER PNPM schemes for the numerical solution of hyperbolic partial differential equations with \ extit{arbitrary} high order of accuracy in space and time. The family of one-step PNPM schemes was introduced in [Dumbser et al., JCP, 2008] and represents a unified framework for classical high order Finite Volume (FV) schemes (N=0), the usual Discontinuous Galerkin (DG) methods (N=M), as well as a new class of intermediate hybrid schemes for which a reconstruction operator of degree M is applied over piecewise polynomial data of degree N with M>N. In all cases with M >= N > 0 the PNPM schemes are linear in the sense of Godunov, thus when considering phenomena characterized by discontinuities, spurious oscillations may appear and even destroy the simulation. Therefore, in this paper we present a new simple, robust and accurate a posteriori subcell finite volume limiting strategy that is valid for the entire class of PNPM schemes. The subcell FV limiter is activated only where it is needed, i.e. in the neighborhood of shocks or other discontinuities, and is able to maintain the resolution of the underlying high order PNPM schemes, due to the use of a rather fine subgrid of 2N+1 subcells per space dimension. The paper contains a wide set of test cases for different hyperbolic PDE systems, solved on adaptive Cartesian meshes (AMR) that show the capabilities of the proposed method both on smooth and discontinuous problems, as well as the broad range of its applicability. The tests range from compressible gasdynamics over classical MHD to relativistic magnetohydrodynamics.

研究动机与目标

• 为解决 $M>N>0$ 的中间 $P_NP_M$ 格式缺乏鲁棒限制策略的问题，此类格式在戈杜诺夫意义下为线性，且在间断附近易产生振荡。
• 开发一种限制方法，可在确保间断流场中稳定性的前提下，保持 $P_NP_M$ 格式的高分辨率与计算效率。
• 将 $P_NP_M$ 格式的适用范围扩展至复杂双曲系统，包括在自适应结构化笛卡尔网格上的相对论磁流体力学。
• 证明所提出的限制器相较于纯DG格式（$M=N$）在保持高阶精度的同时显著降低计算成本。

提出的方法

• 采用后处理检测机制识别在高阶 $P_NP_M$ 更新后发生振荡的有问题单元。
• 仅在有问题的单元中应用亚单元有限体积重构，每个空间维度使用 $2N+1$ 亚单元网格以提升分辨率。
• 限制器在子网格上采用强稳定保模（SSP）TVD或WENO有限体积格式，以施加物理边界并防止振荡。
• 限制器仅在局部激活，从而在光滑区域保留原始高阶格式，最大限度减少计算开销。
• 该方法集成于单步ADER时间积分框架中，结合时空伽辽金预测器，实现空间与时间上的任意高阶精度。
• 该方法在自适应结构化笛卡尔网格（AMR）上进行了验证，其局部加密比为 $\mathfrak{r}=3$，最大层次数为 $\ell_{\max}=2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $M>N>0$ 的 $P_NP_M$ 格式开发一种鲁棒、局部且高效的限制策略，以处理不连续解？
• RQ2 后处理亚单元有限体积限制器是否能在防止虚假振荡的同时保持高分辨率能力？
• RQ3 在精度与计算成本方面，$M>N>0$ 的 $P_NP_M$ 格式相较于纯DG格式（$M=N$）表现如何？
• RQ4 所提出的限制器能否在包括相对论磁流体力学在内的多种双曲系统中有效应用？
• RQ5 该方法在具有动态加密的自适应结构化笛卡尔网格上是否具备可扩展性与高效性？

主要发现

• 后处理亚单元有限体积限制器在所有测试系统中（包括气体动力学、经典磁流体力学及相对论磁流体力学）成功稳定了 $M>N>0$ 的 $P_NP_M$ 格式。
• 在相同网格上，$P_3P_5$ 格式的分辨率与 $P_5P_5$ DG 格式相当，但计算速度提升了 2.62 倍，显著提升了计算效率。
• 在Orszag-Tang涡旋测试中，即使在粗网格上，限制器仍保持了高分辨率，未出现可见振荡，且激波捕捉准确。
• 在相对论磁流体力学测试中，限制器平均仅在 1.5% 的单元中被激活，证实了其局部性与高效性。
• 该方法在光滑区域保持了名义上的精度阶数（$M+1$），同时有效抑制了间断附近的振荡。
• 该方法是首个为整个 $P_NP_M$ 家族（包括 $M>N>0$ 的中间混合格式）提供鲁棒、高阶且高效限制策略的工作。