[论文解读] A practical heuristic for finding graph minors

Jun Liang Cai, William G. Macready+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 233

一句话总结

本文提出了一种实用的启发式算法，用于在包含数百个顶点的稀疏图中寻找图子图，通过多源A*搜索和基于Dijkstra的初始化，高效地将逻辑问题图嵌入到D-Wave的Chimera硬件图中。该方法在真实世界优化映射中实现了高成功率，性能可扩展至大规模实例，即使在失败时也能提供有用的局部分解。

ABSTRACT

We present a heuristic algorithm for finding a graph $H$ as a minor of a graph $G$ that is practical for sparse $G$ and $H$ with hundreds of vertices. We also explain the practical importance of finding graph minors in mapping quadratic pseudo-boolean optimization problems onto an adiabatic quantum annealer.

研究动机与目标

• 开发一种实用的启发式方法，用于在输入中同时包含宿主图G和目标图H时寻找图子图，尤其适用于大规模稀疏图。
• 通过提供一种可扩展的非精确解法，避免理论算法中难以处理的常数，解决量子退火中的NP难子图嵌入问题。
• 通过实现图子图嵌入，改进二次伪布尔优化问题在D-Wave的绝热量子退火硬件上的映射，支持G中最多500个顶点和H中最多200个顶点的图。
• 设计一种即使在失败时仍具实用价值的算法，通过生成G-分解（一种适用于伊辛模型求解器的广义结构）来实现。

提出的方法

• 使用多源A*搜索算法，结合启发式距离，指导在宿主图G中寻找顶点模型位置的搜索。
• 采用Dijkstra算法作为初始顶点模型位置的基准，随后通过A*进行优化，以最小化重叠。
• 实现优先队列以维护并更新到任意未达源点的最小估计距离，从而实现高效的节点选择。
• 将G-分解定义为子图嵌入失败时的备用结构，其中每个逻辑顶点映射到G中的一个连通子图。
• 应用算法的局部化版本，对每个实例多次运行，以提高在困难问题上的成功率。
• 使用边加权最短路径和启发式函数来估计距离，最小化最大路径长度，从而减少顶点模型重叠。

实验结果

研究问题

• RQ1 当G和H均为输入时，启发式算法是否能在大规模稀疏图中实现高成功率寻找图子图？
• RQ2 在子图嵌入任务中，多源A*的性能与基于Dijkstra的初始化相比，成功率和运行时间如何？
• RQ3 对启发式算法进行多次局部运行，能在多大程度上提升在困难问题实例上的成功率？
• RQ4 当完全子图嵌入失败时，部分解（G-分解）是否仍可被下游求解器有效利用？

主要发现

• 该启发式算法成功实现了在G中最多500个顶点、H中最多200个顶点的图嵌入，展示了其在理论极限之外的实际适用性。
• 多源A*方法的运行速度高于基于Dijkstra的初始化，尽管由于聚焦于最坏情况重叠，成功率略低。
• 对每个实例重复运行局部化算法五次，运行时间与全局版本相当，同时显著提升了在困难问题上的成功率。
• 平均而言，子图嵌入的数量随H的大小呈指数增长，支持在大规模解空间中使用启发式搜索的可行性。
• 即使在失败情况下，该算法仍能生成G-分解，这是一种树分解的有用推广，可能被伊辛模型求解器利用。
• 由于其启发式性质和高效的数据结构，尽管是非构造性和概率性的，该算法在实践中仍优于已知的精确方法。