[论文解读] A preconditioner based on the shift-splitting method for generalized saddle point problems

Davod Khojasteh Salkuyeh, Mohsen Masoudi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对 (1,1) 块为非对称正定、(2,2) 块为对称半正定的广义鞍点问题的位移分裂预条件子。该方法基于一个无条件收敛的迭代格式，数值实验表明，在斯托克斯问题中，与非预条件 GMRES 相比，该方法显著减少了 GMRES 迭代次数和 CPU 时间。

ABSTRACT

In this paper, we propose a preconditioner based on the shift-splitting method for generalized saddle point problems with nonsymmetric positive definite (1,1)-block and symmetric positive semidefinite $(2,2)$-block. The proposed preconditioner is obtained from an basic iterative method which is unconditionally convergent. We also present a relaxed version of the proposed method. Some numerical experiments are presented to show the effectiveness of the method.

研究动机与目标

• 为有限元离散化斯托克斯方程所产生的大型稀疏广义鞍点问题开发一种高效的预条件子。
• 将位移分裂方法扩展至 (1,1) 块为非对称正定而非仅对称正定的情形。
• 确保所提出的迭代方法无条件收敛，并为 Krylov 子空间求解器（如 GMRES）推导出稳定的预条件子。
• 使用 GMRES(30) 在基准斯托克斯问题上评估该预条件子的性能。

提出的方法

• 该方法基于位移参数 α 和 β，将鞍点系统分解为 M 和 N 矩阵。
• 证明了迭代矩阵 Γα,β = M⁻¹N 的谱半径对所有 α, β > 0 均小于 1，从而确保无条件收敛。
• 预条件子 P_MGSS 定义为 Mα,β = ½[(αI + A) Bᵀ; -B (βI + C)]，其为对称正定，适用于 GMRES。
• 一种简化版本 P_RMGSS 省略了 (1,1) 块的位移，简化了实现过程，同时保持了有效性。
• 内部系统使用 GMRES(10) 求解，残差减少容差为 10⁻²，最大迭代次数为 40。
• 该方法使用 IFISS 软件包，对稳态斯托克斯方程的 Q1-P0 有限元离散化进行了测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将位移分裂方法扩展至 (1,1) 块为非对称正定的广义鞍点问题？
• RQ2 所提出的预条件子是否能确保此类问题的无条件收敛？
• RQ3 该预条件子在减少斯托克斯问题的 GMRES 迭代次数和 CPU 时间方面效果如何？
• RQ4 参数选择 α = 0.01 和 β = 0.001 对收敛行为有何影响？

主要发现

• 所提出的 MGSS 方法具有无条件收敛性，迭代矩阵的谱半径对所有 α, β > 0 严格小于 1。
• 在 64×64 网格上，预条件 GMRES(30) 仅需 28 次迭代和 21.48 秒，而无预条件时需 3554 次迭代和 110.1 秒。
• 在 32×32 网格上，预条件子将迭代次数从无预条件时的 608 次减少到 12 次，CPU 时间从 4.95 秒减少到 3.58 秒。
• 简化预条件子 RMGSS 同样表现出色，在 16×16 网格上将迭代次数减少至 8 次，在 32×32 网格上减少至 12 次。
• 在所有网格尺寸下，该预条件子均显著优于非预条件 GMRES，尤其在更细的网格上优势更为明显。
• 理论分析表明，当 A 为非对称正定时，该方法仍保持收敛性，扩展了以往仅限于对称 A 的结果。