[论文解读] A Prediction-Correction Algorithm for Real-Time Model Predictive Control

Santiago Paternain, Manfred Morari+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Advanced Control Systems Optimization参考文献 31被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种用于实时模型预测控制（MPC）的预测-校正算法，通过基于隐函数定理的预测步骤跟踪时变最优解，随后进行少量牛顿型校正步骤，从而降低计算复杂度。该方法确保了二次收敛性和稳定性，使MPC能够应用于具有快速动态特性和计算资源受限的系统，并在非线性系统上提供了理论保证和数值验证。

ABSTRACT

In this work we adapt a prediction-correction algorithm for continuous time-varying convex optimization problems to solve dynamic programs arising from Model Predictive Control. In particular, the prediction step tracks the evolution of the optimal solution of the problem which depends on the current state of the system. The cost of said step is that of inverting one Hessian and it guarantees, under some conditions, that the iterate remains in the quadratic convergence region of the optimization problem at the next time step. These conditions imply (i) that the variation of the state in a control interval cannot be too large and that (ii) the solution computed in the previous time step needs to be sufficiently accurate. The latter can be guaranteed by running classic Newton iterations, which we term correction steps. Since this method exhibits quadratic convergence the number of iterations to achieve a desired accuracy $η$ is of order $\log_2\log_2 1/η$, where the cost of each iteration is approximately that of inverting a Hessian. This grants the prediction-correction control law low computational complexity. In addition, the solution achieved by the algorithm is such that the closed loop system remains stable, which allows extending the applicability of Model Predictive Control to systems with faster dynamics and less computational power. Numerical examples where we consider nonlinear systems support the theoretical conclusions.

研究动机与目标

• 解决具有快速动态特性和有限处理能力的系统在实时模型预测控制（MPC）中的计算瓶颈问题。
• 通过利用最优解的时间演化特性，减少每个控制周期的优化迭代次数。
• 通过结合预测与校正步骤，确保MPC实现二次收敛性和稳定性。
• 将MPC的应用范围扩展至非线性系统以及控制周期较短的系统。

提出的方法

• 该算法使用一个预测步骤，基于当前状态和系统动态，利用隐函数定理估计下一个最优解。
• 预测步骤需求解一个Hessian矩阵的逆，并确保迭代点保持在牛顿法的二次收敛区域内。
• 通过牛顿迭代执行校正步骤，以实现高精度，仅需O(log log(1/η))次迭代即可达到期望精度η。
• 该方法依赖于Hessian矩阵和梯度变化的Lipschitz连续性，其界由拉格朗日函数二阶导数的假设5和6导出。
• 通过解的灵敏度积分形式界定预测误差，并通过特征值和Lipschitz假设控制Hessian逆矩阵的差异。
• 该算法应用于移动时域MPC问题，在状态变化有界且初始精度足够的情况下，提供理论上的稳定性和收敛性保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 预测-校正框架是否能减少实时MPC中所需的牛顿迭代次数？
• RQ2 在何种条件下，预测步骤能确保迭代点保持在牛顿法的二次收敛区域内？
• RQ3 如何降低具有快速动态特性和有限处理能力的系统的MPC计算复杂度？
• RQ4 使用该方法在时变MPC中可提供哪些关于稳定性和收敛性的理论保证？
• RQ5 该方法能否扩展至具有约束和非二次目标函数的非线性系统？

主要发现

• 预测-校正算法仅需O(log log(1/η))次牛顿迭代即可实现二次收敛，从而显著降低每个控制周期的计算成本。
• 只要控制周期内状态变化有界且前一解足够精确，预测步骤即可确保迭代点保持在牛顿法的二次收敛区域内。
• 理论分析表明，预测误差被限制在O(∥Δx∥²)以内，其中Δx为状态变化量，且校正步骤的误差随每次迭代呈二次衰减。
• 该方法保证了闭环稳定性，使MPC能够应用于比以往更快速动态的系统。
• 非线性系统上的数值示例验证了理论结果，表明该方法具有低计算复杂度，并在扰动下表现出鲁棒性能。
• 该算法每次迭代的计算成本近似等价于求解一个Hessian矩阵的逆，因此适用于计算资源有限的嵌入式系统。