[论文解读] A preliminary univalent formalization of the p-adic numbers

Álvaro Pelayo, Vladimir Voevodsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

advanced mathematical theories参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在同伦类型理论框架下，使用 Coq 对 p 进数进行了构造性、同伦等价的形式化，将 p 进整数定义为 ℤ 上形式幂级数的商环，p 进数则定义为该环的分式域。该构造采用非邻近关系与海廷域来处理不可判定等式，为未来 p 进可积系统中的算法开发提供了基础框架。

ABSTRACT

In this paper we give a preliminary formalization of the p-adic numbers, in the context of the second author's univalent foundations program. We also provide the corresponding code verifying the construction in the proof assistant Coq. Because work in the univalent setting is ongoing, the structure and organization of the construction of the p-adic numbers we give in this paper is expected to change as Coq libraries are more suitably rearranged, and optimized, by the authors and other researchers in the future. So our construction here should be deemed as a first approximation which is subject to improvements.

研究动机与目标

• 在同伦类型理论中使用 Coq 对 p 进数进行构造性、同伦等价的形式化。
• 为 p 进可积系统中的算法构造与数值分析提供基础。
• 将 p 进整数形式化为 ℤ[[X]] 的商环，将 p 进数形式化为它们的分式域。
• 通过非邻近关系，构造性地处理 ℤ[[X]] 中不可判定等式的处理，同时构建构造性定义的整环与海廷域。
• 为未来 p 进可积系统与量子系统中逆谱问题的形式化奠定基础。

提出的方法

• 将 p 进整数 ℤₚ 定义为整数上形式幂级数环 ℤ[[X]] 的商环。
• 利用同伦等价基础与 Coq 的类型理论，形式化具有同伦理论一致性的代数结构。
• 通过非邻近关系替代构造性设定中不可判定的等式。
• 将海廷域形式化为域的构造性类比，确保与构造性逻辑的兼容性。
• 通过构造性版本的分式域构造，将 ℤₚ 的分式域构造为 p 进数 ℚₚ。
• 在 Coq 中实现所有构造，配套提供经验证的代码，使用同伦等价基础库。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在同伦等价、同伦类型论的框架下对 p 进数进行构造性形式化？
• RQ2 在构造性地处理形式幂级数环中不可判定等式时，需要哪些代数结构？
• RQ3 能否将分式域构造适配至海廷域，以在不使用经典选择公理的情况下定义 ℚₚ？
• RQ4 该形式化如何支持 p 进可积系统中算法的开发？
• RQ5 非邻近关系在确保 ℤₚ 与 ℚₚ 中代数运算的构造性有效性方面起什么作用？

主要发现

• p 进整数 ℤₚ 成功地被形式化为 ℤ[[X]] 的商环，且具有构造性证明的整性与非邻近结构。
• 分式域构造被适配至海廷域，使得 ℚₚ 可在不使用经典逻辑的前提下被定义为海廷域。
• 该形式化在 Coq 中使用同伦等价基础库实现，经验证的代码作为补充材料提供。
• 该构造通过依赖非邻近关系与构造代数中可判定的性质，避免了经典假设。
• 该方法为 p 进数的同伦等价形式化提供了初步近似，预计随着未来库的优化而持续演进。
• 该形式化支持长期目标：从 p 进量子可积系统中逆谱问题的算法提取。