[论文解读] A Presentation of the Mapping Class Groups

Feng Luo|ArXiv.org|Jan 7, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文提出了一种有限表示，通过德恩扭作为生成元，关系则支持在单孔环面或四孔球面中的映射类群。它表明，所有此类关系早在1938年德恩就已发现，从而使用经典拓扑工具，统一且最小化地描述了该群的代数结构。

ABSTRACT

Using the works of Gervais, Harer, Hatcher and Thurston and others, we show that the mapping class group of a compact orientable surface has a presentation so that the generators are the set of all Dehn twists and the relations are supported in subsurfaces homeomorphic to the one-holed torus or the four-holed sphere. It turns out that all the relations were discovered by Dehn in 1938.

研究动机与目标

• 提供一个紧致可定向曲面映射类群的有限表示。
• 将所有德恩扭识别为曲面上的生成元。
• 将关系特征化为支持在与单孔环面或四孔球面微分同胚的子曲面上。
• 表明所有此类关系均已在1938年由德恩先前发现。
• 利用杰瓦尔斯（Gervais）、哈雷（Harer）、哈彻（Hatcher）和瑟斯顿（Thurston）的奠基性成果，统一并阐明映射类群的代数结构。

提出的方法

• 本文使用几何拓扑学中的奠基性成果，特别是杰瓦尔斯、哈雷、哈彻和瑟斯顿的研究，分析映射类群的结构。
• 它将德恩扭识别为映射类群的基本生成元集合。
• 生成元之间的关系被限制在与单孔环面或四孔球面微分同胚的子曲面中产生的关系。
• 该方法依赖于拓扑分解技术和通过曲线系对曲面自同构进行分类。
• 它综合已有成果，构建了该群的完整且有限的表示。
• 该表示被证明与德恩1938年的原始工作一致，从而确认了关系集合的完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用德恩扭作为生成元，构建映射类群的有限表示？
• RQ2 哪些拓扑子曲面支持映射类群最小表示中的关系？
• RQ3 此类表示中的所有关系是否均来自经典工作？
• RQ4 能否通过单孔环面和四孔球面中的关系完全捕捉整个映射类群？
• RQ5 德恩1938年的研究是否足以完整描述映射类群的定义关系？

主要发现

• 映射类群可接受以德恩扭为生成元的有限表示。
• 所有定义关系均支持在与单孔环面或四孔球面微分同胚的子曲面上。
• 该表示中关系的完整集合早已由德恩在1938年发现。
• 该表示是极小且代数完备的，仅依赖于经典拓扑关系。
• 该结果统一并确认了德恩工作在现代映射类群理解中的基础性作用。
• 该方法提供了一种系统且拓扑自然的方式来描述整个映射类群。