[论文解读] A-priori bounds and multiplicity of solutions for nonlinear elliptic problems involving the fractional $p(\cdot)$-Laplacian

Ky Ho, Yun-Ho Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了可变指数分数次 Sobolev 空间的基底嵌入，并将其应用于推导涉及分数次 $p(\cdot)$-Laplacian 的非线性椭圆问题的全局先验估计与弱解的多重性。通过 De Giorgi 迭代与变分方法，证明了在一般增长条件下存在无穷多组弱解，消除了先前研究中的限制性假设。

ABSTRACT

We obtain fundamental imbeddings for the fractional Sobolev space with variable exponent that is a generalization of well-known fractional Sobolev spaces. As an application, we obtain a-priori bounds and multiplicity of solutions to some nonlinear elliptic problems involving the fractional $p(\cdot)$-Laplacian.

研究动机与目标

• 对可变指数分数次 Sobolev 空间进行精细化处理，并建立基本嵌入关系，包括紧致与连续嵌入，且无需施加限制性条件 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$。
• 利用 De Giorgi 迭代与局部化方法，推导涉及分数次 $p(\cdot)$-Laplacian 的非线性椭圆问题弱解的全局先验估计。
• 在 $f$ 的增长与结构条件一般化的前提下，证明问题 $(-\Delta)_{p(x)}^{s}u = f(x,u)$ 在 $\Omega$ 中且具有零外部条件时存在无穷多组弱解。
• 通过证明 $(PS)$ 条件并构造能量空间中收敛于零的解序列，将变分方法推广至非局部、可变指数情形。

提出的方法

• 引入并精细化具有可变指数 $p(x,y)$ 的分数次 Sobolev 空间 $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$，确保其范数与拓扑性质定义良好。
• 在无需 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ 的前提下，建立连续嵌入关系 $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$，其中 $1 < r(x) < \frac{N\widetilde{p}(x,x)}{N - s\widetilde{p}(x,x)}$。
• 应用 De Giorgi 的迭代技术，推导弱解的全局 $L^\infty$ 估计，将退化 $p(\cdot)$-Laplace 方程的方法适配至非局部情形。
• 采用变分框架，结合能量泛函 $\widetilde{E}(u)$，通过有限维子空间上的紧致嵌入与范数等价性，证明 $(PS)$ 条件。
• 利用对称山路定理，通过构造子空间序列 $X_n$ 并证明 $\sup_{u \in X_n \cap S_{r_n}} \widetilde{E}(u) < 0$，从而得到无穷多组临界点。
• 应用局部化论证与有限维子空间上的范数等价性，证明 $\|u_n\|_{L^{p(\cdot)}(\Omega)} \to 0$，确保解在 $n$ 足够大时非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在不施加限制性假设 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ 的前提下，建立紧致嵌入 $W^{s,q(\cdot),\widetilde{p}(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$？
• RQ2 在有界 Lipschitz 域中，分数次 $p(\cdot)$-Laplacian 问题 $(-\Delta)_{p(x)}^{s}u = f(x,u)$ 的弱解是否具有全局先验估计？
• RQ3 在一般非线性条件下，是否可证明分数次 $p(\cdot)$-Laplacian 问题存在无穷多组弱解？
• RQ4 在可变指数分数次 Sobolev 空间中，相关能量泛函是否满足 $(PS)$ 条件？
• RQ5 De Giorgi 迭代技术是否可适配至非局部、可变指数情形，以推导 $L^\infty$ 估计？

主要发现

• 本文在无需 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ 的前提下，建立了连续嵌入 $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$，其中 $1 < r(x) < \frac{N\widetilde{p}(x,x)}{N - s\widetilde{p}(x,x)}$，推广了先前结果。
• 通过 De Giorgi 迭代推导出弱解的全局 $L^\infty$ 估计，证明在一般结构假设下解在 $\Omega$ 中一致有界。
• 能量泛函 $\widetilde{E}(u)$ 在 $W_0^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$ 上满足 $(PS)$ 条件，使得临界点理论得以应用。
• 通过应用对称山路定理，获得无穷多组弱解，且解序列 $\{u_n\}$ 在 $W_0^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$ 与 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 中收敛于零。
• 当 $n$ 足够大时，解 $u_n$ 非零，因为 $\|u_n\|_{L^{\infty}(\Omega)} \to 0$ 但 $\|u_n\|_{s,p} = r_n > 0$，确保其在极限下保持非零性。
• 证明表明 $\bar{u} = 0$ 是唯一满足能量恒等式的解，从而确认序列 $\{u_n\}$ 由互异且非零的弱解构成，并收敛于零。