[论文解读] A priori error estimates for compatible spectral discretization of the Stokes problem for all admissible boundary conditions

Jasper Kreeft, Marc Gerritsma|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于Stokes问题的相容谱元离散化方法，采用混合拟谱有限元方法，在笛卡尔与曲线网格上对所有可接受的边界条件均保证最优先验误差估计。该方法依赖于与外微分算子交换的有界投影算子，实现相容的离散Hodge分解，并在速度、涡度和压力变量上实现最优收敛速率。

ABSTRACT

This paper describes the recently developed mixed mimetic spectral element method for the Stokes problem in the vorticity-velocity-pressure formulation. This compatible discretization method relies on the construction of a conforming discrete Hodge decomposition, that is based on a bounded projection operator that commutes with the exterior derivative. The projection operator is the composition of a reduction and a reconstruction step. The reconstruction in terms of mimetic spectral element basis-functions are tensor-based constructions and therefore hold for curvilinear quadrilateral and hexahedral meshes. For compatible discretization methods that contain a conforming discrete Hodge decomposition, we derive optimal a priori error estimates which are valid for all admissible boundary conditions on both Cartesian and curvilinear meshes. These theoretical results are confirmed by numerical experiments. These clearly show that the mimetic spectral elements outperform the commonly used H(div)-compatible Raviart-Thomas elements.

研究动机与目标

• 开发一种用于Stokes问题的相容谱离散化方法，确保在所有可接受边界条件下均保持最优收敛性。
• 通过与外微分算子交换的有界投影算子，建立相容的离散Hodge分解。
• 将现有先验误差估计扩展至标准边界条件之外，涵盖曲线四边形与六面体网格上的非标准边界条件。
• 证明拟谱有限元方法在数值性能上优于经典的Raviart-Thomas $H(\mathrm{div})$-相容元。
• 通过在复杂曲线区域上的制造解数值实验，验证理论收敛速率。

提出的方法

• 该方法基于微分形式与Stokes问题的涡度-速度-压力（VVP）弱形式，采用混合拟谱有限元方法（MMSEM）。
• 构造一个有界投影算子，作为子流形上积分（降维）与使用张量积拟谱基函数重构的复合运算。
• 重构过程采用节点与边插值基函数，确保在曲线单元上与外微分算子及Hodge分解的相容性。
• 投影算子与外微分算子交换（$\pi_h \mathrm{d} = \mathrm{d} \pi_h$），确保拟谱一致性并保持关键的拓扑性质。
• 离散Hodge分解为相容形式，满足 $\Lambda_h^k = \mathcal{Z}_h^k \oplus \mathcal{Z}_h^{k,\perp}$，并依赖于离散Poincaré不等式。
• 该方法以微分几何与代数拓扑的语言表述，从而兼容所有标准与非标准边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在所有可接受边界条件下均保持相容性的谱离散化Stokes问题推导出最优先验误差估计？
• RQ2 拟谱有限元方法在曲线四边形与六面体网格上是否保持最优收敛速率？
• RQ3 MMSEM在收敛性与精度方面与经典$H(\mathrm{div})$-相容Raviart-Thomas元相比表现如何？
• RQ4 具有交换性质的有界投影算子能否确保在非标准边界条件下实现稳定性与最优收敛？
• RQ5 当应用于高度弯曲区域上的制造解时，该方法的收敛行为如何？

主要发现

• 在均匀笛卡尔网格上，涡度误差达到$ h^3 $阶最优收敛率，当$ N=2 $且$ h=1/8 $至$ h=1/128 $时，确认了三阶收敛性。
• 在曲线网格上，速度与压力变量实现最优$ h $-收敛，当$ N=2,4,6,8 $时，涡度与速度的收敛率约为3.0，压力的收敛率约为3.01。
• 数值实验表明，拟谱有限元方法在精度与收敛行为方面优于标准$H(\mathrm{div})$-相容Raviart-Thomas元。
• 该方法在通过$\Phi(\xi,\eta)$映射的曲线域上，对四类边界条件（Dirichlet、Neumann、混合与非标准）均保持最优收敛。
• 曲线映射的拉回算子与投影算子交换，确保在曲边单元上保持最优收敛。
• 理论误差估计适用于所有可接受的边界条件，扩展了以往仅限于特定边界类型的结论。