[论文解读] A priori estimates for elliptic equations with reaction terms involving the function and its gradient

Marie‐Françoise Bidaut‐Véron, Marta García‐Huidobro+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 32

一句话总结

该论文为 $ \mathbb{R}^N$ 中的椭圆方程 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$（其中 $p,q>1$ 且 $M\in\mathbb{R}$）建立了先验估计，并分析了基态的存在性与非存在性。通过伯恩斯坦方法与积分方法，确定了临界指数与分岔分支，证明当 $N\geq4$ 时，若 $p>\frac{N+1}{N-3}$，则存在非径向奇异解，并通过球面上的谱分析刻画了解的结构。

ABSTRACT

We study local and global properties of solutions of --$\\Delta$u = u p + M ||u| q in a domain $\\Omega$ of R N , in the range min{p, q} > 1 and M $\\in$ R. We prove a priori estimates and existence or non-existence of ground states.

研究动机与目标

• 为 $ \mathbb{R}^N$ 中的半线性椭圆方程 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$（$p,q>1$，$M\in\mathbb{R}$）建立正解的先验估计。
• 确定基态（$ \mathbb{R}^N$ 上的正解）存在或不存在的条件，尤其关注临界指数的影响。
• 通过分岔理论与球面 $S^{N-1}$ 上的谱分析，分析奇异解与非径向解的结构。
• 通过引入精细的分析技术，将已知的Lane-Emden方程结果推广至含梯度依赖反应项的情形。

提出的方法

• 应用直接伯恩斯坦方法，通过变量替换 $u = v^{-\beta}$ 转化方程，并分析 $|\nabla v|$，以获得逐点估计。
• 使用改进的伯恩斯坦方法，在超临界区域（特别是当 $p > \frac{N+2}{N-2}$ 时）获得更优估计。
• 采用积分方法，推导 $L^p$ 型不等式与Bootstrap估计，依赖于Hardy-Littlewood-Sobolev嵌入与Lorentz空间嵌入。
• 利用能量函数与Pohozaev-Pucci-Serrin型恒等式分析径向基态，研究其存在性与标度行为。
• 在球面 $S^{N-1}$ 上通过 $-\Delta'$ 的特征函数（特别是 $\psi_1 = x_N|_{S^{N-1}}$）进行分岔分析，以构造非径向解。
• 利用切线条件与隐函数定理，从 $M_0$ 处的已知解出发，构造局部解曲线 $(M(s), \omega_{M(s)})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $p$、$q$ 与 $M$ 条件下，方程 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$ 在 $ \mathbb{R}^N$ 中存在正基态？
• RQ2 临界指数 $p = \frac{N}{N-2}$ 与 $p = \frac{N+2}{N-2}$ 如何影响解的存在性与正则性？
• RQ3 符号 $M$ 在非径向奇异解的存在性中起何作用？其如何影响分岔行为？
• RQ4 当 $N \geq 4$ 且 $p > \frac{N+1}{N-3}$ 时，能否通过从径向解分岔构造非径向解？

主要发现

• 在 $ \mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 中，对所有 $p>1$ 与 $q = \frac{2p}{p+1}$，存在形式为 $u(r,\sigma) = r^{-\frac{2}{p-1}}\omega(\sigma)$ 的非径向奇异解。
• 当 $N \geq 4$ 且 $p > \frac{N+1}{N-3}$ 时，非径向解从 $M>0$ 的分岔分支中出现。
• 当 $N \geq 3$ 且 $\frac{N}{N-2} \leq p < \frac{N+1}{N-3}$ 时，非径向解从 $M<0$ 的分岔分支中出现。
• 当 $N=1,2$ 或 $N\geq3$ 且 $1<p<\frac{N}{N-2}$ 时，非径向解通过在 $M_k < -\mu^*$ 处的分岔获得（$k \geq 1$）。
• 指数 $p = \frac{N+1}{N-3}$ 被识别为 $S^{N-1}$ 上的Sobolev临界指数，标志着分岔行为的临界阈值。
• 当 $p = \frac{N+1}{N-3}$ 且 $M=0$ 时，可分变量方程存在无穷多个正解，包括非平凡解。