[论文解读] A priori $L^{\infty}$-estimates for degenerate complex Monge-Ampère equations

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文在紧致 Kähler 流形上建立了退化复 Monge-Ampère 方程解的统一 $L^{\infty}$-估计，其中上同调类退化为非大类。通过容量比较与 Hölder 不等式，作者证明了当参数 $t \to 0^+$ 时，解在 $L^{\infty}$-范数下保持一致有界，推广了此前无需对纤维化施加几何假设的结果。

ABSTRACT

We study families of complex Monge-Ampère equations, focusing on the case where the cohomology classes degenerate to a non big class. We establish uniform a priori $L^{\infty}$-estimates for the normalized solutions, generalizing the recent work of S. Kolodziej and G. Tian. This has interesting consequences in the study of the Kähler-Ricci flow.

研究动机与目标

• 建立当上同调类退化为非大类时，退化复 Monge-Ampère 方程解的统一先验 $L^\infty$-估计。
• 通过去除纤维化 $\pi: X \to Y$ 上的技术性几何假设，推广 Kolodziej 与 Tian 的近期结果。
• 为归一化解 $\varphi_t$ 提供统一的 $L^\infty$-范数界，该界独立于 $t \in (0,1]$，确保在 $t \to 0^+$ 时的稳定性。
• 将结果应用于中间 Kodaira 维数满足 $1 \leq \kod(X) \leq n-1$ 的流形上的 Kähler-Ricci 流。
• 证明 $L^\infty$-界仅依赖于纤维化 $\pi$ 与密度 $F$ 的 $L^p$-范数。

提出的方法

• 将 Monge-Ampère 方程重写为 $(\omega_t + dd^c \varphi_t)^n = f_t \omega_t^n$ 的形式，其中 $f_t$ 是在某个 $p' > 1$ 下关于 $L^{p'}$ 一致有界的密度。
• 通过 Hölder 不等式与 Jacobian 模 $J_\pi^{-\alpha}$ 的可积性（$\alpha \in (0,1)$）建立对密度 $f_t$ 的统一控制。
• 利用测度 $\mu_t = f_t \omega_t^n / \Vol_{\omega_t}(X)$ 与归一化容量 $\mathrm{Cap}_{\omega_t}/\Vol_{\omega_t}(X)$ 之间的比较原理，证明 $\mu_t(K) \leq C_0^n \left( \mathrm{Cap}_{\omega_t}(K)/\Vol_{\omega_t}(X) \right)^2$。
• 应用 Alexander-Taylor 比较定理，将子水平集的容量与解的子水平集的测度联系起来。
• 利用 $\omega_t$-拟凸函数的比较原理，通过量 $s_0(\omega_t)$ 导出先验 $L^\infty$-界，该量在 $t \in (0,1]$ 上一致有界。
• 利用 $\omega_t$-拟凸函数在 $L^1(\omega_1^n)$ 中的一致有界性，证明 $s_0(\omega_t)$ 在 $t$ 上一致有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设纤维化 $\pi: X \to Y$ 的几何性质下，为退化复 Monge-Ampère 方程的解建立统一的 $L^\infty$-估计？
• RQ2 $L^\infty$-界对纤维化 $\pi$ 与密度 $F$ 的 $L^p$-范数的依赖关系为何？
• RQ3 当上同调类退化为非大类时，对 Monge-Ampère 方程解的正则性有何影响？
• RQ4 容量比较方法是否可用于在 $t \to 0^+$ 的极限下，对 $\omega_t = \pi^*\omega_Y + t\omega_X$ 的一族 Kähler 形式导出统一界？
• RQ5 Jacobian 模 $J_\pi$ 在控制密度 $f_t$ 的 $L^p$-可积性中起何作用？

主要发现

• Monge-Ampère 方程 $(\star)_t$ 的解 $\varphi_t$ 满足统一的 $L^\infty$-界：对所有 $t \in (0,1]$，有 $\|\varphi_t\|_{L^\infty(X)} \leq M$，其中 $M = M(\pi, \|F\|_p)$ 与 $t$ 无关。
• 常数 $M$ 仅依赖于纤维化 $\pi$ 与 $F$ 的 $L^p$-范数，不依赖于 $\pi$ 的任何几何假设。
• 密度 $f_t$ 在 $L^{p'}(\omega_t^n)$ 中一致有界（$p' > 1$），且界仅依赖于 $\pi$ 与 $\|F\|_p$。
• 测度 $\mu_t = f_t \omega_t^n / \Vol_{\omega_t}(X)$ 被归一化容量 $\mathrm{Cap}_{\omega_t}/\Vol_{\omega_t}(X)$ 统一强控制，常数为 $C_0^n$。
• $s_0(\omega_t)$（控制 $L^\infty$-界的量）在 $t \in (0,1]$ 上一致有界，有界于 $e^n C_0^n (A + n)$，其中 $A$ 仅依赖于 $(X, \omega_1)$。
• 该结果表明，文献 [KT] 中的定理 1 与 2 在无需对 $\pi$ 施加技术性假设时仍成立，从而证实了 Demailly 与 Pali 的一个猜想。