[论文解读] A probabilistic approach to Dirac concentration in nonlocal models of adaptation with several resources

Nicolas Champagnat, Benoît Henry|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文提出一个概率框架，用于分析具有多种资源的非局部自适应动力学模型中的狄拉克集中现象，利用费曼-卡茨表示法与瓦拉达汉引理，推导出 ε log u^ε 极限的变分问题。主要贡献在于证明了在连续和有限表型空间中，具有不规则哈密顿函数的哈密顿-雅可比方程的解具有正则性和唯一性，将先前的分析方法拓展至多资源系统。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of scaling limits in small mutations and large time of the solutions u^$\\epsilon$ of two deterministic models of phenotypic adaptation, where the parameter $\\epsilon$ > 0 scales the size of mutations. The first model is the so-called Lotka-Volterra parabolic PDE in R d with an arbitrary number of resources and the second one is an adaptation of the first model to a finite phenotype space. The solutions of such systems typically concentrate as Dirac masses in the limit $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0. Our main results are, in both cases, the representation of the limits of $\\epsilon$ log u^$\\epsilon$ as solutions of variational problems and regularity results for these limits. The method mainly relies on Feynman-Kac type representations of u $\\epsilon$ and Varadhan's Lemma. Our probabilistic approach applies to multi-resources situations not covered by standard analytical methods and makes the link between variational limit problems and Hamilton-Jacobi equations with irregular Hamiltonians that arise naturally from analytical methods. The finite case presents substantial difficulties since the rate function of the associated large deviation principle has non-compact level sets. In that case, we are also able to obtain uniqueness of the solution of the variational problem and of the associated differential problem which can be interpreted as a Hamilton-Jacobi equation in finite state space.

研究动机与目标

• 研究小突变与长时间尺度下表型适应模型的标度极限，重点关注在 ε → 0 时的狄拉克集中现象。
• 将哈密顿-雅可比方程的分析结果拓展至多资源系统（r ≥ 2），其中可能发生进化分支。
• 在连续和有限表型空间中，建立 ε log u^ε 极限的正则性与唯一性。
• 在非光滑设定下，连接概率方法（费曼-卡茨、大偏差）与变分及哈密顿-雅可比公式。
• 解决有限表型空间中的挑战，其中速率函数的水平集不紧致。

提出的方法

• 采用 WKB 假设 u^ε(t,x) = exp(φ^ε(t,x)/ε)，将抛物型 PDE 转化为哈密顿-雅可比型问题。
• 应用费曼-卡茨表示法，以概率方式表达 u^ε，从而可应用大偏差原理。
• 利用瓦拉达汉引理，将 ε log u^ε 的极限识别为变分问题的解。
• 通过动态规划原理分析变分问题，并将极限表征为具有不规则哈密顿函数的哈密顿-雅可比方程的解。
• 通过引入修正的初始条件并分析跳跃动力学，在有限表型情形下建立唯一性与正则性。
• 采用连续时间与离散时间公式推导有限状态空间中的哈密顿-雅可比方程，证明其与变分问题的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在多种资源的情况下，非局部洛特卡-沃尔泰拉 PDE 的解 u^ε 在 ε → 0 时如何集中？
• RQ2 在标准分析方法失效的多资源系统中，概率方法能否提供 ε log u^ε 极限的变分表征？
• RQ3 在有限表型空间中，给定速率函数的水平集不紧致时，极限函数 φ 的正则性与唯一性为何？
• RQ4 具有不规则哈密顿函数的哈密顿-雅可比方程与由大偏差原理导出的变分问题有何关联？
• RQ5 在有限情形下，极限测度的支撑动态与哈密顿-雅可比方程的解之间有何联系？

主要发现

• ε log u^ε 的极限被表征为唯一解的变分问题，该问题等价于具有不规则哈密顿函数的哈密顿-雅可比方程。
• 在连续表型空间中，极限函数 φ 满足哈密顿-雅可比方程 ∂tφ = R(x,vt) + ½|∇φ|²，且满足约束 sup φ(t,·) = 0。
• 在有限表型空间中，变分问题的解 V 满足离散哈密顿-雅可比方程 (8.9)，在适当的初始条件下具有唯一解。
• 即使初始条件 h(i) 违反不等式 h(i) ≤ h(j) + T(i,j)，在有限情形下仍建立了变分问题解的唯一性。
• 解 V 关于时间右连续，且极限测度 μt 的支撑包含于 V(t,·) = 0 的集合中。
• 极限测度的支撑动态由条件 R(x,vt) ≤ 0 在支撑上成立且 R(x,vt) = 0 在支撑上成立所支配，确保了亚稳态。