[论文解读] A probabilistic argument for the controllability of conservative systems

Martin Hairer|ArXiv.org|Jun 24, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的概率证明，表明在满足 Hörmander 条件且具有一个保守量的无散系统，若该保守量为适当函数，则系统是可控制的。关键贡献在于证明了：可控制性可由 Hörmander 条件与关联扩散过程存在具有全拓扑支撑的不变测度共同推出。

ABSTRACT

We consider controllability for divergence-free systems that have a conserved quantity and satisfy a Hörmander condition. It is shown that such systems are controllable, provided that the conserved quantity is a proper function. The proof of the result combines analytic tools with probabilistic arguments. While this statement is well-known in geometric control theory, the probabilistic proof given in this note seems to be new. We show that controllability follows from Hörmander's condition, together with the a priori knowledge of an invariant measure with full topological support for a diffusion that `implements' the control system. Examples are given that illustrate the relevance of the assumptions required for the result to hold. Applications of the result to ergodicity questions for systems arising from non-equilibrium statistical mechanics and to the controllability of Galerkin approximations to the Euler equations are also given.

研究动机与目标

• 建立由无散向量场与保守量控制的保守系统的可控制性。
• 为几何控制理论中已有结果的情形，提供一种新的概率证明以确认可控制性。
• 阐明具有全拓扑支撑的不变测度在确保可控制性中的作用。
• 展示该结果在非平衡统计力学系统及 Euler 方程的 Galerkin 近似中的适用性。

提出的方法

• 利用向量场生成的李代数上的 Hörmander 条件，以确保关联扩散过程的拟椭圆性。
• 将扩散过程存在具有全拓扑支撑的不变测度作为关键先验假设。
• 应用概率工具，包括强 Feller 性质与不可约性，从扩散过程的性质推导出可控制性。
• 依赖于保守量为适当函数的事实，以确保其等值集为紧集，从而支持不变测度的存在性。
• 结合系统结构的分析性论证与扩散过程的概率收敛性质。
• 利用扩散过程‘实现’控制系统的事实，使得可从随机性质推导出控制理论结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，满足 Hörmander 条件且具有保守量的保守系统是可控制的？
• RQ2 具有全拓扑支撑的不变测度的存在性如何影响与控制系统关联的扩散过程的可控制性？
• RQ3 概率方法能否为几何控制理论中无散系统的可控制性提供新见解？
• RQ4 保守量的适当性在确保可控制性中起什么作用？
• RQ5 该结果如何应用于非平衡统计力学中的系统以及 Euler 方程的 Galerkin 近似？

主要发现

• 在保守量为适当函数的假设下，建立了满足 Hörmander 条件且具有保守量的保守系统的可控制性。
• 该证明表明，关联扩散过程存在具有全拓扑支撑的不变测度，结合 Hörmander 条件，可推出可控制性。
• 概率方法为几何控制理论中已知结果提供了新视角，提供了通向相同结论的另一条路径。
• 该结果适用于非平衡统计力学中的系统，支持其遍历性与混合性质。
• 该方法适用于 3D Euler 方程的 Galerkin 近似，暗示其在无限维情形下证明可控制性的潜力。
• 本文提供了若干例子，表明假设（尤其是保守量的适当性）对结论成立是必要的。