[论文解读] A probabilistic interpretation of the Volkenborn integral

Ashwani K. Bhandari, Christophe Vignat|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

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一句话总结

本文通过将 Volkenborn 积分与 logistic 分布和双曲正割分布的随机变量的期望联系起来，为其提供了概率解释，从而实现了对伯努利多项式与欧拉多项式恒等式的全新推导。其主要贡献是利用这些概率表示，将 Raabe 乘法定理推广至多变量情形。

ABSTRACT

In this paper, we provide a probabilistic interpretation of the Volkenborn integral; this allows us to extend results by T. Kim et al about sums of Euler numbers to sums of Bernoulli numbers. We also obtain a probabilistic representation of the multidimensional Volkenborn integral which allows us to derive a multivariate version of Raabe's multiplication theorem for the higher-order Bernoulli and Euler polynomials.

研究动机与目标

• 通过使用特殊的连续型与离散型随机变量，为 Volkenborn 积分建立一个概率框架。
• 通过这种概率解释，将已知的欧拉数恒等式推广至伯努利数。
• 推导高阶伯努利与欧拉多项式 Raabe 乘法定理的多变量版本。
• 利用带符号测度与抵消性质，统一处理 Raabe 恒等式中乘法参数 m 为偶数与奇数的情形。
• 在 Volkenborn 积分的背景下，统一并推广 Kim 等人关于 Bernstein 多项式的成果至 Beta 多项式。

提出的方法

• 将 q=0 时的 Volkenborn 积分化为 f(x + iLB - 1/2) 的期望，其中 LB 服从位置参数为 0、尺度参数为 1 的 logistic 分布，其概率密度函数为 (π/2)sech²(πx)。
• 将 q=1 时的 Volkenborn 积分化为 f(x + iLE - 1/2) 的期望，其中 LE 服从双曲正割分布，其概率密度函数为 sech(πx)。
• 利用抵消性质：若 UB ~ Uniform[0,1] 且独立于 LB，则 E[(x + iLB - 1/2 + UB)^n] = x^n。
• 对 Rademacher 变量 UE 应用相同原理：E[(x + iLE - 1/2 + UE)^n] = x^n。
• 通过引入独立同分布的随机变量副本并使用带符号测度处理欧拉情形，推导多变量恒等式。
• 利用独立均匀分布与 Rademacher 变量之和可重加权为原变量的缩放版本的事实，从而实现随机项的抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用已知的概率分布，从概率角度解释 Volkenborn 积分？
• RQ2 Volkenborn 积分的概率表示能否用于推导伯努利数与多项式的新恒等式？
• RQ3 伯努利与欧拉多项式的 Raabe 乘法定理的多变量推广形式为何？
• RQ4 当乘法参数 m 为偶数与奇数时，结果有何不同？
• RQ5 均匀分布与 Rademacher 变量的抵消性质能否用于简化多变量 Volkenborn 积分？

主要发现

• q=0 时的 Volkenborn 积分满足 ∫f(x) dμ_0(x) = E[f(x + iLB - 1/2)]，其中 LB 的分布为 logistic 分布，其概率密度函数为 (π/2)sech²(πx)。
• q=1 时的 Volkenborn 积分满足 ∫f(x) dμ_1(x) = E[f(x + iLE - 1/2)]，其中 LE 的分布为双曲正割分布，其概率密度函数为 sech(πx)。
• 第 n 个伯努利数满足 B_n = E[(iLB - 1/2)^n]，第 n 个欧拉数满足 E_n = E[(iLE - 1/2)^n]。
• 在多变量情形下，伯努利多项式 Raabe 恒等式为：m^{-n} E[(mx + m∑a_i(iLB^{(i)} - 1/2) + ∑a_i(iL̃B^{(i)} - 1/2) + m∑a_i U_B^{(i)})^n] = B_n^{(k)}(mx|a)。
• 对于奇数 m 的欧拉多项式，恒等式 ∑_{l_i=0}^{m-1} (-1)^{∑l_i} E_n(x + (1/m)∑a_i l_i | a) = m^{-n} E[(mx + m∑a_i(iLE^{(i)} - 1/2) + ∑a_i(iL̃E^{(i)} - 1/2) + m∑a_i U_E^{(i)})^n] 成立。
• 对于偶数 m，引入 {0,…,m-1} 上的带符号测度，权重为 (−1)^l，恒等式涉及期望之差，其形式类似于导数项，最终给出 E_n^{(k)}(mx) 的表达式（相差一个常数因子）。