[论文解读] A probabilistic max-plus numerical method for solving stochastic control problems

Akian, Marianne, Fodjo, Eric|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种新颖的概率最大-加法数值方法，用于求解随机控制问题中出现的完全非线性汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，该问题同时包含有限集控制和连续值控制。通过结合McEneaney的最大-加法方法与Fahim、Touzi和Warin的概率方案，该算法在无需剪枝的情况下实现了多项式时间复杂度，从而在高维情形下高效计算值函数，其有效性已在具有不确定波动率的二维期权定价问题上得到验证。

ABSTRACT

We consider fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to diffusion control problems involving a finite set-valued (or switching) control and possibly a continuum-valued control. We construct a lower complexity probabilistic numerical algorithm by combining the idempotent expansion properties obtained by McEneaney, Kaise and Han (2011) for solving such problems with a numerical probabilistic method such as the one proposed by Fahim, Touzi and Warin (2011) for solving some fully nonlinear parabolic partial differential equations. Numerical tests on a small example of pricing and hedging an option are presented.

研究动机与目标

• 开发一种低复杂度的数值方法，用于求解具有混合离散与连续控制的随机控制问题中的完全非线性HJB方程。
• 克服现有概率方法对扩散矩阵施加严格边界和对哈密顿函数正则性条件的依赖。
• 将幂等最大-加法方法与基于蒙特卡洛的概率方案相结合，以确保多项式时间复杂度。
• 实现在高维问题（如具有不确定波动率的期权定价）中高效计算值函数。
• 在具有切换波动率制度的基准二维期权定价问题上验证该方法。

提出的方法

• 该方法结合了McEneaney等人提出的幂等最大-加法方法，该方法将值函数表示为二次型的上确界，以及Fahim、Touzi和Warin基于后向随机微分方程的概率方案。
• 通过模拟少量不受控的随机过程，利用蒙特卡洛方法估计后向递推中的条件期望。
• 在每个时间步，算法通过在控制上取上确界来计算值函数，每个项以二次型表示，通过概率采样避免了二次型数量的指数增长。
• 通过利用期望的线性性与最大-加法结构，该方法在时间步数和样本量上均实现了多项式时间复杂度，即使在无剪枝的情况下亦成立。
• 在时间T处，通过有限个上确界（concave quadratic forms）近似值函数，其曲率通过匹配收益函数的行为进行调整。
• 该方案应用于具有不确定波动率的两资产期权定价问题，其中控制在两个相关性水平之间切换。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种概率数值方法，用于求解具有混合离散与连续控制的完全非线性HJB方程，同时保持多项式时间复杂度？
• RQ2 将幂等最大-加法方法与概率方案结合，是否可消除对剪枝及二次型数量指数增长的依赖？
• RQ3 该方法能否处理扩散矩阵不被正定矩阵下界限制的情形，从而克服先前概率方法的局限性？
• RQ4 该方法在高维随机控制问题（如具有不确定波动率的期权定价）中的表现如何？
• RQ5 采样参数对值函数近似精度与稳定性的影晌如何？

主要发现

• 由于采用了概率采样策略，所提出的算法即使在无剪枝的情况下，其时间复杂度在时间步数和样本量上仍为多项式级别。
• 在具有不确定波动率的二维期权定价问题中，该方法的结果与文献[5]中的结果相当，值函数与参考解高度吻合。
• 当仅使用单一控制（ρ = -0.8 或 0.8）时，t=0处的误差分别为0.157（上确界范数）和0.074（ℓ¹范数），其中ξ₂=50且ξ₁∈[20,80]。
• 当Nₘ=2（两个控制样本）时，该方法优于Nₘ=3和Nₘ=4，表明更高的Nₘ可能因对独立随机变量取最大值而引入偏差。
• 误差范数与文献[7]中标准回归方法报告的误差相当，表明尽管采用非标准方法，其精度仍具竞争力。
• 该方法成功近似了非拟凸收益函数ψ(ξ) = (ξ₁−ξ₂−K₁)⁺−(ξ₁−ξ₂−K₂)⁺，使用具有大负曲率的二次型，而此前的最大-加法方法无法处理此类情形。