[论文解读] A Probabilistic Perspective on Gaussian Filtering and Smoothing

Marc Peter Deisenroth, Henrik Ohlsson|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种统一的高斯滤波与平滑的概率框架，表明所有此类方法的差异仅在于其计算关键联合分布矩的方法。该文引入了立方格点卡尔曼平滑器（cubature Kalman smoother）以及一种基于吉布斯采样的新型滤波/平滑算法，展示了在非线性系统中具有更高的鲁棒性和矩保持能力。

ABSTRACT

We present a general probabilistic perspective on Gaussian filtering and smoothing. This allows us to show that common approaches to Gaussian filtering/smoothing can be distinguished solely by their methods of computing/approximating the means and covariances of joint probabilities. This implies that novel filters and smoothers can be derived straightforwardly by providing methods for computing these moments. Based on this insight, we derive the cubature Kalman smoother and propose a novel robust filtering and smoothing algorithm based on Gibbs sampling.

研究动机与目标

• 提供高斯滤波与平滑的通用概率视角，将现有方法统一于同一框架之下。
• 识别出不同高斯滤波器/平滑器之间的差异仅源于其计算联合分布矩的方法。
• 通过指定矩计算方法，实现新滤波与平滑算法的直接推导。
• 提出一种基于吉布斯采样的新型滤波与鲁思-滕-斯特里贝尔（Rauch-Tung-Striebel, RTS）平滑算法，该算法无需已知的噪声协方差。
• 在非线性系统中，从准确性、鲁棒性和矩保持能力方面评估所提方法的性能。

提出的方法

• 将高斯滤波与平滑形式化为对联合后验分布 $p({\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t-1},{\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t}|{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{1:t-1})$ 和 $p({\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t},{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{t}|{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{1:t-1})$ 的近似。
• 通过应用立方格点规则计算这些联合分布的矩，推导出立方格点卡尔曼平滑器（CKS）。
• 提出一种基于吉布斯采样的滤波器与RTS平滑器，直接从数据中推断联合分布的均值与协方差。
• 使用吉布斯采样从全条件分布中迭代采样，实现矩估计，且无需系统函数的可微性。
• 对 $p({\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t-1},{\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t},{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{t}|{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{1:t-1})$ 进行联合采样，以提高边缘分布之间的一致性。
• 仅依赖于系统与测量模型的函数评估，避免对可微性或已知噪声矩阵的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一概率框架下统一高斯滤波与平滑？
• RQ2 在联合分布矩计算层面，不同高斯滤波器与平滑器之间的区别是什么？
• RQ3 通过指定一种新的矩估计方法，能否推导出一种新型且鲁棒的滤波与平滑算法？
• RQ4 与标准滤波器相比，基于吉布斯采样的方法在非线性系统中的矩保持能力和准确性如何？
• RQ5 在平滑一致性方面，涉及状态与测量的联合分布具有何种影响？

主要发现

• 立方格点卡尔曼平滑器（CKS）作为所提框架的直接应用被推导出来，提供了一种新颖且精确的平滑算法。
• 吉布斯滤波器与吉布斯-RTSS（Gibbs-RTSS）实现了矩保持，避免了非矩保持方法常见的不一致滤波与平滑分布。
• 基于吉布斯的方法无需已知的噪声协方差矩阵 $\mathbf{Q}$ 与 $\mathbf{R}$，这些矩阵可由数据推断得出。
• 数值评估表明，吉布斯滤波器/RTSS在准确性与鲁棒性方面与最先进的高斯滤波器和平滑器表现相当。
• 由于使用了扩展的联合分布 $p({\boldsymbol{x}}_{t-1},{\boldsymbol{x}}_{t},{\boldsymbol{z}}_{t}|{\boldsymbol{z}}_{1:t-1})$，边缘分布之间的相对差异小于 $10^{-5}$，表明其具有高度一致性。
• 所提出的基于采样的方法避免了粒子滤波中常见的退化问题，且无需系统函数的可微性。