[论文解读] A problem of Wang on Davenport constant for the multiplicative semigroup of the quotient ring of $\F_2[x]$

Lizhen Zhang, Haoli Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2015

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文解决了王在2015年提出的一个关键开放问题，即关于商环 𝔽₂[x]/(f) 的乘法半群的戴维森常数。研究建立了紧确的界：D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + δ_f，其中 δ_f 依赖于 𝔽₂ 上 f 与 x(x+1) 的最大公因式，从而部分回答了王关于全半群与单位群的戴维森常数之差的问题。

ABSTRACT

Let $\F_q[x]$ be the ring of polynomials over the finite field $\F_q$, and let $f$ be a polynomial of $\F_q[x]$. Let $R=\frac{\F_q[x]}{(f)}$ be a quotient ring of $\F_q[x]$ with $0 eq R eq \F_q[x]$. Let $\mathcal{S}_R$ be the multiplicative semigroup of the ring $R$, and let ${ m U}(\mathcal{S}_R)$ be the group of units of $\mathcal{S}_R$. The Davenport constant ${ m D}(\mathcal{S}_R)$ of the multiplicative semigroup $\mathcal{S}_R$ is the least positive integer $\ell$ such that for any $\ell$ polynomials $g_1,g_2,\ldots,g_{\ell}\in \F_q[x]$, there exists a subset $I\subsetneq [1,\ell]$ with $$\prod\limits_{i\in I} g_i \equiv \prod\limits_{i=1}^{\ell} g_i\pmod f.$$ In this manuscript, we proved that for the case of $q=2$, $${ m D}({ m U}(\mathcal{S}_R))\leq { m D}(\mathcal{S}_R)\leq { m D}({ m U}(\mathcal{S}_R))+δ_f,$$ where \begin{displaymath} δ_f=\left\{\begin{array}{ll} 0 & extrm{if $\gcd(x*(x+1_{\mathbb{F}_2}),\ f)=1_{\F_{2}}$}\\ 1 & extrm{if $\gcd(x*(x+1_{\mathbb{F}_2}),\ f)\in \{x, \ x+1_{\mathbb{F}_2}\}$}\\ 2 & extrm{if $gcd(x*(x+1_{\mathbb{F}_2}),f)=x*(x+1_{\mathbb{F}_2}) $}\\ \end{array} ight. \end{displaymath} which partially answered an open problem of Wang on Davenport constant for the multiplicative semigroup of $\frac{\F_q[x]}{(f)}$ (G.Q. Wang, \emph{Davenport constant for semigroups II,} Journal of Number Theory, 155 (2015) 124--134).

研究动机与目标

• 解决王（2015）提出的关于商环 𝔽₂[x]/(f) 的乘法半群的戴维森常数的开放问题。
• 确定全乘法半群 𝒮_R 与其中心单位群 U(𝒮_R) 的戴维森常数之间的差异。
• 在 D(U(𝒮_R)) 与依赖于 f 的结构不变量 δ_f 的基础上，建立 D(𝒮_R) 的紧确上界与下界。

提出的方法

• 作者基于半群及其单位群的结构，采用一种约化技术，利用稳定子链对子群进行滤子分解。
• 他们应用引理2.3，分析与序列部分和相关的稳定子子群 K_i 的链。
• 他们利用商群结构 U(𝒮_R)/K_i，结合群论中的已知结果，对戴维森常数进行有界。
• 关键构造涉及在 𝒮_R 中定义修正元素 â，使得对所有 i ∉ 𝒥 有 â ≡ a mod f_i^{n_i}，且对所有 j ∈ 𝒥 有 â ≡ 1 mod f_j^{n_j}，从而保证 â ∈ U(𝒮_R)。
• 他们利用如下事实：对尾部序列中的每个 a，有 σ(V) + â = σ(V) + a，从而保持和的行为不变。
• 证明依赖于存在一个非空子序列 W ⊆ TV^{[-1]}，使得 ∑â ∈ K_t，从而推出 σ(T) = σ(TW^{[-1]})，最终证明可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 R = 𝔽₂[x]/(f) 且 f 为非平凡多项式时，D(𝒮_R) − D(U(𝒮_R)) 的精确值或界是什么？
• RQ2 f 的结构，特别是其在 𝔽₂ 上与 x(x+1) 的最大公因式，如何影响 R 的乘法半群的戴维森常数？
• RQ3 能否用单位群的戴维森常数来界定全半群的戴维森常数？
• RQ4 在何种条件下 D(𝒮_R) = D(U(𝒮_R))，在何种条件下其严格更大？

主要发现

• 乘法半群 𝒮_R 的戴维森常数满足 D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + δ_f，其中 δ_f 为 0、1 或 2，具体取决于 𝔽₂[x] 中 f 与 x(x+1) 的最大公因式。
• 若 gcd(f, x(x+1)) = 1，则 δ_f = 0，且 D(𝒮_R) = D(U(𝒮_R))。
• 若 gcd(f, x(x+1)) 为 x 或 x+1，则 δ_f = 1，且 D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + 1。
• 若 gcd(f, x(x+1)) = x(x+1)，则 δ_f = 2，且 D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + 2。
• 该界是紧确的，因为 δ_f 恰好捕捉了 D(𝒮_R) 与 D(U(𝒮_R)) 之间相等性的全部障碍。
• 该结果通过不变量 δ_f 完整地刻画了 D(𝒮_R) − D(U(𝒮_R))，从而为王的开放问题提供了完整的部分解。