[论文解读] A proof of hyperbolic van der Waerden conjecture : the right generalization is the ultimate simplification

Leonid Gurvits|ArXiv.org|Apr 19, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文通过在实部条件下建立 $n$-次齐次 $P$-双曲多项式混合导数的精确下界，证明了双曲 van der Waerden 猜想，推广了 van der Waerden 和 Bapat 猜想。证明利用双曲多项式的基本性质，得到了新的永久和判别式不等式，推导过程更加简洁统一。

ABSTRACT

Consider a homogeneous polynomial $p(z_1,...,z_n)$ of degree $n$ in $n$ complex variables . Assume that this polynomial satisfies the property : \\ $|p(z_1,...,z_n)| \geq \prod_{1 \leq i \leq n} Re(z_i)$ on the domain $\{(z_1,...,z_n) : Re(z_i) \geq 0, 1 \leq i \leq n \}$ . \\ We prove that $|\frac{\partial^n}{\partial z_1...\partial z_n} p | \geq \frac{n!}{n^n}$ . Our proof is relatively short and self-contained (i.e. we only use basic properties of hyperbolic polynomials). As the van der Waerden conjecture for permanents, proved by D.I. Falikman and G.P. Egorychev, as well Bapat's conjecture for mixed discriminants, proved by the author, are particular cases of this result. We also prove so called "small rank" lower bound (in the permanents context it corresponds to sparse doubly-stochastic matrices, i.e. with small number of non-zero entries in each column). The later lower bound generalizes (with simpler proofs) recent lower bounds by A.Schrijver for the number of perfect matchings of $k$-regular bipartite graphs. We present some important algorithmic applications of the result, including a polynomial time deterministic algorithm approximating the permanent of $n imes n$ nonnegative entry-wise matrices within multiplicative factor $\frac{e^n}{n^m}$ for any fixed positive $m$ .

研究动机与目标

• 证明在实部条件下，$n$-次齐次 $P$-双曲多项式的 $n$-阶混合导数的精确下界。
• 统一并简化永久的 van der Waerden 猜想和混合判别式的 Bapat 猜想的证明。
• 为稀疏双随机矩阵和低秩混合判别式建立‘小秩’下界。
• 设计用于近似混合导数的确定性多项式时间 oracle 算法，改进乘法误差因子。
• 将双曲多项式的框架扩展至组合学与优化中的算法应用。

提出的方法

• 引入 $P$-双曲多项式作为 $(1,\dots,1)$-双曲的齐次多项式，且其 $e$-非负锥包含非负象限。
• 将 $p$-混合形式 $M_p(x_1,\dots,x_n)$ 定义为 $p(\sum \alpha_i x_i)$ 的 $n$-阶混合偏导数，等价于极化公式。
• 利用容量 $Cap(\mathbf{X}) = \inf_{\alpha_i > 0, \prod \alpha_i = 1} P_{\mathbf{X}}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ 从下方有界混合导数。
• 应用归纳法和双曲多项式性质，推导出在给定实部条件下主不等式 $|\partial^n p / \partial z_1 \cdots \partial z_n| \geq n! / n^n$。
• 通过涉及 $((k-1)/k)^{(k-1)(n-k)}$ 的秩相关下界，将结果推广至低秩情形。
• 结合容量框架与内点法工具，设计用于近似混合导数的确定性多项式时间 oracle 算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过双曲多项式自然推广的方法证明双曲 van der Waerden 猜想？
• RQ2 基于容量的混合导数下界是否可推广至稀疏或低秩情形？
• RQ3 能否构造用于近似 $P$-双曲多项式混合导数的确定性多项式时间 oracle 算法，且乘法误差更优？
• RQ4 $P$-双曲多项式的容量是否与其中的混合导数存在紧密关联，从而实现精确近似？
• RQ5 该方法能否扩展至凸体的体积多项式？

主要发现

• 本文建立了不等式 $|\partial^n p / \partial z_1 \cdots \partial z_n| \geq n! / n^n$，适用于满足在右半空间上 $|p(z)| \geq \prod \text{Re}(z_i)$ 的 $n$-次齐次 $P$-双曲多项式。
• 永久的 van der Waerden 猜想和 Bapat 对混合判别式的猜想均为此结果的特例。
• 推导出新的‘小秩’下界：若 $\text{Rank}(A_i) \leq k$，则 $M(A_1,\dots,A_n) \geq \left(\frac{k-1}{k}\right)^{(k-1)(n-k)} \frac{k!}{k^k}$。
• 对于每行非零元不超过 $k$ 个的双随机矩阵，永久不等式 $\text{Per}(A) \geq \left(\frac{k-1}{k}\right)^{(k-1)(n-k)} \frac{k!}{k^k}$ 成立。
• 构造出一种确定性多项式时间 oracle 算法，其对 $n$-阶混合导数的近似误差因子为 $e^n$，对任意固定 $m$ 可改进为 $e^n / n^m$。
• 该方法简化并推广了先前结果，包括 Schrijver 对 $k$-正则二分图的结果，证明更加简洁直接。