[论文解读] A proof of N.Takahashi's conjecture for $(\mathbb{P}^2,E)$ and a refined sheaves/Gromov-Witten correspondence

Pierrick Bousseau|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 56被引用 7

一句话总结

本文通过热带几何与导出范畴壁穿插，建立了精化层/Gromov-Witten 对应关系，证明了 N. Takahashi 关于 $(\mathbb{P}^2, E)$ 上 genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不变量的猜想，其中 $E$ 为光滑三次曲线。研究显示，$\mathbb{P}^2$ 上一维 Gieseker 半稳定层模空间的贝蒂数在变量替换 $y = e^{i\hbar}$ 下对应于高亏格 Gromov-Witten 不变量，为相对 Gromov-Witten 理论提供了新的整数性机制。

ABSTRACT

We prove N.Takahashi's conjecture determining the contribution of each contact point in genus-$0$ maximal contact Gromov-Witten theory of $\mathbb{P}^2$ relative to a smooth cubic $E$. This is a new example of a question in Gromov-Witten theory which can be fully solved despite the presence of contracted components and multiple covers. The proof relies on a tropical computation of the Gromov-Witten invariants and on the interpretation of the tropical picture as describing wall-crossing in the derived category of coherent sheaves on $\mathbb{P}^2$, giving a translation of the original Gromov-Witten question into a known statement about Euler characteristics of moduli spaces of one-dimensional Gieseker semistable sheaves on $\mathbb{P}^2$. The same techniques allow us to prove a new sheaves/Gromov-Witten correspondence, relating Betti numbers of moduli spaces of one-dimensional Gieseker semistable sheaves on $\mathbb{P}^2$, or equivalently refined genus-$0$ Gopakumar-Vafa invariants of local $\mathbb{P}^2$, with higher-genus maximal contact Gromov-Witten theory of $(\mathbb{P}^2,E)$. The correspondence involves the non-trivial change of variables $y=e^{i \hbar}$, where $y$ is the refined/cohomological variable on the sheaf side, and $\hbar$ is the genus variable on the Gromov-Witten side. We explain how this correspondence can be heuristically motivated by a combination of mirror symmetry and hyperkähler rotation.

研究动机与目标

• 证明 N. Takahashi 关于 $(\mathbb{P}^2, E)$ 上 genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不变量中单个接触点贡献的猜想。
• 建立 $\mathbb{P}^2$ 上一维 Gieseker 半稳定层模空间的贝蒂数与 $(\mathbb{P}^2, E)$ 上高亏格 Gromov-Witten 不变量之间的精化对应关系。
• 将热带 Gromov-Witten 不变量解释为 $\mathbb{P}^2$ 上 coherent sheaves 导出范畴中的壁穿插。
• 通过镜像对称的启发式方法与超凯勒旋转，解释该对应关系，将全纯曲线与 $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 中的 $t$-稳定对象联系起来。

提出的方法

• 利用热带几何在整仿射流形上通过散射图计算 genus-0 Gromov-Witten 不变量。
• 将散射图 $S(\mathfrak{D}^{\mathrm{in}}_{\operatorname{cl}^+})$ 中的竖直射线识别为 $\mathbb{P}^2$ 上一维 Gieseker 半稳定层模空间。
• 应用局部-相对 Gromov-Witten 对应关系，将 $(\mathbb{P}^2, E)$ 的不变量与局部 $\mathbb{P}^2$ 卡拉比-丘 3-fold $K_{\mathbb{P}^2}$ 的不变量联系起来。
• 在层侧引入 $y$-变量，在 Gromov-Witten 侧引入 $\hbar$-变量，通过 $y = e^{i\hbar}$ 实现对应关系的精化。
• 利用导出范畴壁穿插，将 Gromov-Witten 不变量转化为层模空间的欧拉示性数。
• 通过超凯勒旋转与镜像对称的启发式方法进行解释，将 $Y_t$ 中的特殊拉格朗日子流形与 $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 中的 $t$-稳定对象联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $(\mathbb{P}^2, E)$ 上 genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不变量中，每个单独接触点的贡献是什么？
• RQ2 能否在 $\mathbb{P}^2$ 上一维层模空间的贝蒂数与 $(\mathbb{P}^2, E)$ 上高亏格 Gromov-Witten 不变量之间建立精化对应关系？
• RQ3 热带几何如何编码 $\mathbb{P}^2$ 上 coherent sheaves 导出范畴中的壁穿插？
• RQ4 为何变量替换 $y = e^{i\hbar}$ 能将精化层计数与高亏格 Gromov-Witten 不变量联系起来？
• RQ5 全纯曲线与 $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 中稳定对象之间对应关系的几何与范畴机制是什么？

主要发现

• 本文证明了 N. Takahashi 的猜想，完全确定了 $(\mathbb{P}^2, E)$ 上 genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不变量中每个接触点的贡献。
• 建立了精化层/Gromov-Witten 对应关系：$\mathbb{P}^2$ 上一维 Gieseker 半稳定层模空间的贝蒂数在变量替换 $y = e^{i\hbar}$ 下与 $(\mathbb{P}^2, E)$ 上的高亏格 Gromov-Witten 不变量相匹配。
• genus-0 Gromov-Witten 不变量 $N_{0,d}^{\mathbb{P}^2/E}$ 与局部 $\mathbb{P}^2$ 的不变量满足关系 $N_{0,d}^{\mathbb{P}^2/E} = (-1)^{d-1}3d N_{0,d}^{K_{\mathbb{P}^2}}$。
• 热带散射图 $S(\mathfrak{D}^{\mathrm{in}}_{\operatorname{cl}^+})$ 通过竖直射线同时编码了 Gromov-Witten 不变量与层模空间的欧拉示性数。
• 该对应关系受到超凯勒旋转与镜像对称的启发式支持，将全纯曲线与 $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 中的稳定对象联系起来。
• 该精化对应关系可推广至高亏格不变量，并通过 $y = e^{i\hbar}$ 变换提供一种虚拟计数机制，将非嵌入曲线与层模空间协调统一。