[论文解读] A proof of the Flaherty-Keller formula on the effective property of densely packed elastic composites

Hyeonbae Kang, Sanghyeon Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Composite Material Mechanics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过使用原-对偶变分原理，对具有硬夹杂物的密集排列周期性复合材料的有效弹性模量的Flaherty-Keller公式提供了严格的数学证明。关键贡献在于构建了能够捕捉夹杂物之间狭窄间隙内应力集中现象的奇异应变函数，由此得出的渐近公式显示了与夹杂物间距 $\epsilon$ 的平方根倒数成正比的关系，且通过匹配渐近分析和能量估计精确推导出常数项。

ABSTRACT

We prove in a mathematically rigorous way the asymptotic formula of Flaherty and Keller on the effective property of densely packed periodic elastic composites with hard inclusions. The proof is based on the primal-dual variational principle, where the upper bound is derived by using the Keller-type test functions and the lower bound by singular functions made of nuclei of strain. Singular functions are solutions of the Lamé system and capture precisely singular behavior of the stress in the narrow region between two adjacent hard inclusions.

研究动机与目标

• 为具有硬夹杂物的密集排列周期性复合材料中有效弹性模量的Flaherty-Keller渐近公式提供数学上严格的证明。
• 填补此前长期存在的Flaherty-Keller公式缺乏严格论证的空白，该公式此前仅通过启发式方法和数值模拟得出。
• 在夹杂物间距 $\epsilon$ 趋近于零的极限下，建立有效模量的精确渐近行为。
• 展示奇异应变函数在捕捉硬夹杂物之间狭窄区域应力集中现象中的作用。

提出的方法

• 应用原-对偶变分原理，推导有效能量的上下界。
• 基于窄缝附近的渐近展开，构造适用于原原理的Keller型测试函数。
• 将由应变核——Lamé方程解——导出的奇异函数用作对偶原理的测试函数。
• 利用Kelvin矩阵和Lamé方程的基本解，生成在夹杂物附近具有精确爆破行为的应变核。
• 通过边界轮廓 $f(y)$ 的泰勒展开进行渐近分析，以估计 $\epsilon \to 0$ 时的能量积分，得到 $O(\epsilon^{-1/2})$ 的量级。
• 通过散度定理和边界积分控制进行能量估计，以界定误差项并建立 $O(1)$ 的修正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当夹杂物间距 $\epsilon$ 趋近于零时，具有密集排列硬夹杂物的周期性复合材料的有效弹性模量的精确渐近行为是什么？
• RQ2 此前通过启发式方法得出的Flaherty-Keller公式，能否通过变分方法实现严格证明？
• RQ3 奇异应变函数——即Lamé方程的解——在捕捉硬夹杂物之间狭窄间隙内应力集中现象中起到何种作用？
• RQ4 原-对偶变分原理能否有效应用于具有极端材料对比度和奇异应力行为的弹性问题？
• RQ5 有效模量对夹杂物几何形状以及最窄点处曲率 $\kappa_0$ 的确切依赖关系是什么？

主要发现

• 当 $\epsilon \to 0$ 时，有效纵向模量 $\mathcal{E}_1$ 满足 $\mathcal{E}_1 = (\lambda + 2\mu)\frac{\pi}{\sqrt{\kappa_0}} \frac{1}{\sqrt{\epsilon}} + O(1)$，其中系数依赖于Lamé常数和曲率。
• 有效横向模量 $\mathcal{E}_2$ 满足 $\mathcal{E}_2 = \mu\frac{\pi}{\sqrt{\kappa_0}} \frac{1}{\sqrt{\epsilon}} + O(1)$，显示出与导电情形相同的 $\epsilon^{-1/2}$ 渐近量级。
• 在对偶变分原理中使用的奇异函数被构造为应变核的线性组合，且精确满足Lamé方程，从而实现了对应力集中现象的精确控制。
• 原原理所得的上界与对偶原理所得的下界均给出相同的 $\epsilon^{-1/2}$ 渐近阶，证实了公式的精确性。
• 误差项在 $\epsilon \to 0$ 时一致有界，且具有 $O(1)$ 的修正项，确保了渐近公式的极限有效性。
• 该证明首次在弹性理论中严格推导出Flaherty-Keller公式，解决了复合材料理论中长期悬而未决的开放问题。