[论文解读] A Proof of the Loehr-Warrington Amazing TEN to the Power n Conjecture

Shalosh B. Ekhad, Vince Vatter+1 more|ArXiv.org|Sep 15, 2005

semigroups and automata theory被引用 3

一句话总结

该论文证明了Loehr-Warrington猜想：在字母表\{3, -2\}上，恰好存在$10^n$个长度为$5n$的单词，其和为零，且不包含因子$3[-2]$，其中内部单词的和也为零。证明采用计算机辅助方法：自定义的Maple软件包TEN自动发现该语言的线性语法，严格验证其正确性，并计算出生成函数$1/(1 - 10x^5)$，通过自动化符号计算确认了$10^n$的计数。

ABSTRACT

We prove, via 30 seconds of Maple computation, that there are 10^n words in the alphabet {3,-2} of length 5n, sum 0, and such that every factor that sums to 0 and that starts with a 3 may not be immediately followed by a -2.

研究动机与目标

• 证明关于在\{3, -2\}上长度为$5n$且和为零、不包含禁止因子$3[-2]$（其中内部单词和也为零）的单词恰好有$10^n$个的猜想。
• 开发并应用一种自动化方法，用于发现和验证具有和与因子约束的组合语言的线性语法。
• 证明计算机辅助证明系统能够处理人类难以手工解决的非平凡组合猜想。
• 提供一个公开可用的Maple软件包（TEN），用于自动化发现和验证类似问题的语法。

提出的方法

• Maple软件包TEN生成所有长度不超过给定值的有效单词，并构建单词对$[w_1, w_2]$的二叉家族树，表示子语言$L(w_1, w_2)$。
• 该算法使用两种分割规则——HeadWay和TailWay，分别基于中间单词的首字母和尾字母，递归地将子语言划分为子子语言。
• 通过检测并消除空的或克隆的子语言（与早期子语言同构），以剪枝搜索空间并构建最小语法。
• 使用基于离散罗尔定理的递归证明过程验证语法的正确性，该定理通过最小正或负前缀和对单词进行分解。
• 通过应用清除操作，消除任何包含零和真因子或禁止失误（如$a[-a](-b)$）的元单词，确保仅保留有效分解。
• 最终生成函数计算为$GF = 1/(1 - 10x^5)$，确认长度为$5n$的单词的$10^n$计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在字母表\{3, -2\}上，是否存在恰好$10^n$个长度为$5n$的单词，其和为零且不包含因子$3[-2]$（其中内部单词和也为零）？
• RQ2 计算机辅助系统能否自动发现并严格验证具有复杂和与因子约束的组合语言的线性语法？
• RQ3 避免特定禁止子因子的零和单词语言的结构是什么？能否由正则语法捕捉？
• RQ4 该方法在$a=3, b=2$的情况下是否可推广至其他互质整数$a, -b$？
• RQ5 自动化证明系统在组合数学中扮演何种角色，是替代还是增强人类直觉？

主要发现

• 在字母表\{3, -2\}上，长度为$5n$且和为零、避免禁止因子$3[-2]$（其中内部单词和也为零）的有效单词数量恰好为$10^n$，从而证实了Loehr-Warrington猜想。
• Maple软件包TEN成功发现了该语言的线性语法，随后通过自动化证明技术严格验证了其正确性。
• 该语言的生成函数为$1/(1 - 10x^5)$，直接表明长度为$5n$的单词计数为$10^n$。
• 该证明方法依赖于基于离散罗尔定理的递归分解，该定理通过最小正或负前缀和对单词进行划分。
• 三次清除操作足以消除所有无效元单词（包含零和因子或失误），证明不存在最小反例。
• 该方法成功应用于\{3, -2\}情形，且在人类数学家受此自动化证明启发后，已成功将结果推广至$b=2$及奇数$a$的情形。