[论文解读] A proof of the Schinzel-Zassenhaus conjecture on polynomials

Vesselin Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2019

Meromorphic and Entire Functions参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文通过建立非分圆整系数多项式最大根大小的精确下界，证明了Schinzel-Zassenhaus猜想：若 $ P \in \mathbb{Z}[X] $ 是首一、不可约且非分圆的，则其最大根满足 $ \max |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} $。证明结合了 $ p $-进分析与算术代数化方法，利用幂级数展开和Bertrandias关于无穷直径的定理，在 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上导出统一的高度下界，应用于全纯级数与有理函数。

ABSTRACT

We prove that if $P(X) \in \mathbb{Z}[X]$ is an integer polynomial of degree $n$ and having $P(0) = 1$, then either $P(X)$ is a product of cyclotomic polynomials, or else at least one of the complex roots of $P$ belongs to the disk $|z| \leq 2^{ - 1 / (4n) }$. We also obtain a relative version of this result over the compositum $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$ of all abelian and all totally $p$-adic extensions of $\mathbb{Q}$, for any fixed prime~$p$, and apply it to prove a $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$-relative canonical height lower bound on the multiplicative group. Another extension is given to a uniform positive height lower bound, inverse-proportional to the total number of singular points, on holonomic power series in $\mathbb{Q}[[X]]$ and not of the form $p(X) / (X^k-1)^m$, where $p(X) \in \mathbb{Q}[X]$, with a further application to existence of a small critical value for certain rational functions.

研究动机与目标

• 解决关于非分圆整系数多项式最小最大根大小的Schinzel-Zassenhaus猜想。
• 在 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $（所有阿贝尔扩张与全 $ p $-进扩张的复合域）上建立代数数典范高度的统一下界。
• 将高度下界推广至 $ \mathbb{Q}[[X]] $ 中非有理函数形式的全holonomic幂级数，排除形如 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ 的情形。
• 通过高度下界证明某些有理函数存在小临界值。

提出的方法

• 构造一个形式幂级数 $ f(1/X) = \sqrt{\prod_{\alpha: P(\alpha)=0} (1 - \alpha^2/X)(1 - \alpha^4/X)} $，其系数为整数。
• 对幂级数 $ f(1/X) $ 应用Bertrandias的算术代数化定理，利用由根 $ \{\alpha^2, \alpha^4\} $ 出发的径向线段构成的“刺猬”集合 $ \mathcal{K} $。
• 在固定素数 $ p $ 处使用受Amoroso与Dvornicich启发的 $ p $-进Euler-Frobenius同余式，以检测非分圆行为。
• 推导集合 $ \mathcal{K} $ 的无穷直径下界，若直径小于1，则至少有一个根位于 $ |z| \leq 2^{-1/(4n)} $ 内。
• 通过最小多项式的首项系数 $ c_{P/K} $，将代数数 $ \alpha $ 的典范高度与对数Mahler度量联系起来。
• 利用 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上的相对高度不等式，其中显式包含 $ \log c_{P/K} $、$ \log^+|\alpha| $ 与 $ p $-进分裂条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个非分圆首一整系数多项式 $ P \in \mathbb{Z}[X] $ 的次数为 $ n $ 时，是否必存在一个根满足 $ |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} $？
• RQ2 能否在仅依赖于次数与 $ p $ 的前提下，为 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上的代数数建立统一的典范高度下界？
• RQ3 在 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 中，非扭代数数的典范高度是否存在正的下界，且与次数成反比？
• RQ4 该方法能否推广至 $ \mathbb{Q}[[X]] $ 中非有理函数形式的全holonomic幂级数，即排除 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ 形式？
• RQ5 每个具有非扭代数临界点的有理函数是否在高度意义下存在小临界值？

主要发现

• 任意非分圆首一整系数不可约多项式 $ P \in \mathbb{Z}[X] $ 的最大根满足 $ \max |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} = 1 + \frac{\log 2}{4n} + O(1/n^2) $，其中 $ n > 1 $。
• 在 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上，典范高度满足不等式 $ \frac{1}{[K:\mathbb{Q}]} \log c_{P/K} + \frac{1}{[K:\mathbb{Q}]} \sum \log^+ |\sigma(\alpha)| \geq \frac{\log 2}{n} $，当 $ p $ 无分支或 $ P \in \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p}[X] $ 时有更强版本。
• 在 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上，任意非扭代数数的典范高度满足 $ h(\alpha) \geq \frac{\log 2}{p^2 n} $，在 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上也有类似下界。
• 对于 $ \mathbb{Q}[[X]] $ 中非有理函数形式的全holonomic幂级数 $ f $，若其不为 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ 形式，则存在与奇点个数成反比的统一高度下界。
• 该方法表明，通过其倒多项式的高度下界，可推出某些有理函数存在小临界值。
• 下界 $ \inf h(\alpha) \geq \frac{\log p}{p^2 n} $ 在常数意义下是精确的，如来自 $ p $-进分裂域的反例所示。