[论文解读] A proof of the stability of extremal graphs, Simonovits' stability from Szemerédi's regularity

Zoltán Füredi|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Jan 13, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 18

一句话总结

本文使用Szemerédi的正则性引理，为极值图论中的Simonovits稳定性定理提供了新的简洁证明，表明任何边数接近最大值的$K_{p+1}$-自由图在结构上都接近于完全$p$-部图的Turán图。关键贡献在于一个精确的结构稳定性结果：若一个图有$e(T_{n,p}) - t$条边，则其包含一个边数至少为$e(G) - t$的$p$-色子图，意味着其与完全$p$-部图的编辑距离不超过$3t$。

ABSTRACT

The following sharpening of Turán's theorem is proved. Let $T_{n,p}$ denote the complete $p$--partite graph of order $n$ having the maximum number of edges. If $G$ is an $n$-vertex $K_{p+1}$-free graph with $e(T_{n,p})-t$ edges then there exists an (at most) $p$-chromatic subgraph $H_0$ such that $e(H_0)\geq e(G)-t$. Using this result we present a concise, contemporary proof (i.e., one applying Szemerédi's regularity lemma) for the classical stability result of Simonovits.

研究动机与目标

• 使用Szemerédi的正则性引理，为Simonovits稳定性定理提供一种现代且简洁的证明。
• 为极值$K_{p+1}$-自由图建立一个精确的结构稳定性结果。
• 证明任意边数为$e(T_{n,p}) - t$的$K_{p+1}$-自由图，其包含一个边数至少为$e(G) - t$的$p$-色子图。
• 推导此类图与Turán图$T_{n,p}$之间编辑距离的定量界。

提出的方法

• 应用Erdős的度数主导化算法，构造一个$K_{p+1}$-自由图$G$的$p$-部图子图$H_0$，使其内部边数较少。
• 利用由该算法导出的不等式$\sum_{i} e(G|V_i) \leq t$，控制各部分内部的边数。
• 借助引理3形式的去除引理，找到$G$的一个$K_{p+1}$-自由子图$H$，满足$e(H) > e(G) - \alpha n^2$。
• 将定理1应用于$H$，得到一个边数满足$e(H_0) > e(T_{n,p}) - 4\alpha n^2$的$p$-部图子图$H_0$。
• 利用推论2构造一个完全$p$-部图$K$，使得$\text{ed}(K, H) < 6\alpha n^2$，从而推出$\text{ed}(K, G) < 7\alpha n^2$。
• 结合估计$\text{ed}(K, T_{n,p}) \leq n^2 \sqrt{2\alpha/p}$，对$G$与$T_{n,p}$之间的总编辑距离进行有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用Szemerédi的正则性引理，以一种现代且简明的方式重新证明Simonovits的稳定性定理？
• RQ2 边数为$e(T_{n,p}) - t$的$K_{p+1}$-自由图与完全$p$-部图之间的确切结构关系是什么？
• RQ3 如何利用度数主导化算法构造一个边损失受控的$p$-色子图？
• RQ4 近极值的$K_{p+1}$-自由图与Turán图$T_{n,p}$之间的定量编辑距离是多少？
• RQ5 该稳定性结果能否通过去除引理推广至一般的$\mathcal{L}$-自由图？

主要发现

• 对于任意边数为$e(G) = e(T_{n,p}) - t$的$K_{p+1}$-自由图$G$，存在一个$p$-色子图$H_0 \subset G$，满足$e(H_0) \geq e(G) - t$。
• 图$G$与某个完全$p$-部图$K$之间的编辑距离满足$|\mathcal{E}(G) \triangle \mathcal{E}(K)| \leq 3t$，这是一个定量的稳定性界。
• 利用去除引理，可找到$G$的一个$K_{p+1}$-自由子图$H$，使得对任意$\alpha > 0$及充分大的$n$，有$e(H) > e(G) - \alpha n^2$。
• $G$与Turán图$T_{n,p}$之间的总编辑距离至多为$(7\alpha + \sqrt{2\alpha/p})n^2$，证明了其结构上的接近性。
• 该结果对所有$n$、$p$和$t$均成立，无需要求$n > n_0$，因而具有普遍适用性。
• 该证明表明，任何边数接近最大值的$K_{p+1}$-自由图，在编辑距离意义下，其结构都接近于完全$p$-部图。