[论文解读] A Proof of Tsygan's Formality Conjecture for an Arbitrary Smooth Manifold

Vasiliy Dolgushev|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 48被引用 51

一句话总结

本文通过为光滑流形上光滑函数代数的 Hochschild上同调与同调复形构造显式的 Fedosov 分解，借助 Kontsevich 与 Shoikhet 对形式幂级数代数的同调形式性拟同构，证明了任意光滑流形上光滑函数代数的 Hochschild 链的 Tsygan 形式性猜想。关键成果是构造了一个明确的函子性形式性拟同构，适用于 Hochschild 链，从而可应用于等变量子化、量子代数的 Hochschild 同调以及形变量子化中的迹。

ABSTRACT

Proofs of Tsygan's formality conjectures for chains would unlock important algebraic tools which might lead to new generalizations of the Atiyah-Patodi-Singer index theorem and the Riemann-Roch-Hirzebruch theorem. Despite this pivotal role in the traditional investigations and the efforts of various people the most general version of Tsygan's formality conjecture has not yet been proven. In my thesis I propose Fedosov resolutions for the Hochschild cohomological and homological complexes of the algebra of functions on an arbitrary smooth manifold. Using these resolutions together with Kontsevich's formality quasi-isomorphism for Hochschild cochains of R[[y_1, >..., y_d]] and Shoikhet's formality quasi-isomorphism for Hochschild chains of R[[y_1,..., y_d]] I prove Tsygan's formality conjecture for Hochschild chains of the algebra of functions on an arbitrary smooth manifold. The construction of the formality quasi-isomorphism for Hochschild chains is manifestly functorial for isomorphisms of the pairs (M, abla), where M is the manifold and abla is an affine connection on the tangent bundle. In my thesis I apply these results to equivariant quantization, computation of Hochschild homology of quantum algebras and description of traces in deformation quantization.

研究动机与目标

• 证明任意光滑流形上光滑函数代数的 Hochschild 链的 Tsygan 形式性猜想。
• 构造一个与配对 (M, ∇) 的同构相容的 Hochschild 链的函子性形式性拟同构，其中 M 为流形，∇ 为仿射联络。
• 将结果应用于形变量子化中的问题，包括等变量子化与量子代数上迹的描述。
• 将形式性定理推广至 Poisson 流形上的量子代数，并将结果扩展至复与全纯情形。
• 为未来在循环形式性、相对形式性以及通过形变量子化进行的量子约化方面的研究提供基础工具。

提出的方法

• 为光滑流形上光滑函数代数的 Hochschild 上同调与同调复形构造 Fedosov 分解。
• 应用 Kontsevich 对 R[[y¹,…,yᵈ]] 的 Hochschild 上链的同调形式性拟同构，以及 Shoikhet 对同一代数的 Hochschild 链的形式性拟同构。
• 利用 [13] 与 [19] 中的全局化技术，将形式性从形式邻域局部推广至整个流形上的全局形式性。
• 建立一个与配对 (M, ∇) 的同构相容的、显式的函子性形式性拟同构，确保几何自然性。
• 利用所得的形式性拟同构，推导出等变量子化、量子代数的 Hochschild 同调以及形变量子化中迹的相关结果。
• 将构造推广至复流形与李代数丛，证明了全纯情形下 Tsygan 形式性猜想的一个版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明任意光滑流形上光滑函数代数的 Hochschild 链的 Tsygan 形式性猜想？
• RQ2 是否存在一个构造出的、与流形及其仿射联络对 (M, ∇) 的同构相容的 Hochschild 链的函子性形式性拟同构？
• RQ3 如何将 Hochschild 链的形式性定理应用于计算与 Poisson 流形相关的量子代数的 Hochschild 同调？
• RQ4 该形式性结果能否推广至复流形或全纯流形？其对形变量子化有何影响？
• RQ5 该形式性定理对量子约化及 Poisson 滚动轨道上星积的分类有何影响？

主要发现

• 本文证明了任意光滑流形上光滑函数代数的 Hochschild 链的 Tsygan 形式性猜想，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 构造了一个显式的函子性形式性拟同构，适用于 Hochschild 链，且与配对 (M, ∇) 的同构相容，确保了几何一致性。
• 该结果使得在具有有限群作用与 G-不变 Poisson 结构的流形上，对 G-不变星积的分类（模等价）成为可能。
• 将形式性定理应用于计算由 X. Tang 使用的、恰当的 étale 李群丛的正式辛形变的 Hochschild 同调。
• 该构造被推广至复流形，证明了全息情形下 Tsygan 形式性猜想的一个版本，扩展了先前结果。
• 该结果为未来在量子约化与形变量子化中特征类的研究提供了基础。